Номер 163, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

163. Докажите, что для треугольника $O_A O_B O_C$ (см. рис. 146) отрезки $O_A A$, $O_B B$, $O_C C$ являются высотами.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и его вневписанные окружности. Точки $O_A, O_B, O_C$ являются центрами этих окружностей, противолежащих соответственно вершинам $A, B, C$. Треугольник, о котором идет речь в задаче, это $\triangle O_A O_B O_C$. Нам нужно доказать, что отрезки $O_A A$, $O_B B$ и $O_C C$ являются высотами этого треугольника.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение). Таким образом, нам нужно доказать, что:

• $O_A A \perp O_B O_C$
• $O_B B \perp O_A O_C$
• $O_C C \perp O_A O_B$

Докажем первое утверждение: $O_A A \perp O_B O_C$. Остальные доказываются аналогично.

По определению, центр вневписанной окружности является точкой пересечения биссектрисы одного внутреннего угла и двух внешних углов треугольника.

1. Рассмотрим прямую $O_A A$.
Точка $O_A$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$. Она лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла $\angle BAC$ и биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $C$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $A$ и $O_A$, является биссектрисой внутреннего угла $\angle BAC$.

2. Рассмотрим прямую $O_B O_C$.
Точка $O_B$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$. Она лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $A$.

Точка $O_C$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$. Она также лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $A$.

Поскольку обе точки $O_B$ и $O_C$ лежат на одной и той же прямой (биссектрисе внешнего угла при вершине $A$), то прямая $O_B O_C$ и есть биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$.

3. Найдем угол между прямыми $O_A A$ и $O_B O_C$.
Нам нужно найти угол между биссектрисой внутреннего угла при вершине $A$ и биссектрисой внешнего угла при той же вершине. Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

Пусть величина внутреннего угла $\angle BAC$ равна $\alpha$. Тогда смежный с ним внешний угол равен $180^\circ - \alpha$.

Биссектриса внутреннего угла ($O_A A$) образует со стороной $AC$ (или $AB$) угол, равный $\frac{\alpha}{2}$.

Биссектриса внешнего угла ($O_B O_C$) образует с продолжением стороны $AC$ угол, равный $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Угол между этой биссектрисой и самой стороной $AC$ будет таким же.

Угол между двумя биссектрисами равен сумме углов, которые они образуют со стороной $AC$ (один "внутри" треугольника, другой "снаружи"). Этот угол равен:

$$ \frac{\alpha}{2} + \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 90^\circ $$

Следовательно, прямая $O_A A$ перпендикулярна прямой $O_B O_C$, то есть $O_A A \perp O_B O_C$.

Таким образом, отрезок $O_A A$ является высотой треугольника $O_A O_B O_C$, проведенной из вершины $O_A$ к стороне $O_B O_C$.

Аналогично рассуждая для вершин $B$ и $C$ треугольника $ABC$, мы доказываем, что:

• $O_B B$ (биссектриса внутреннего $\angle B$) перпендикулярна $O_A O_C$ (биссектриса внешнего $\angle B$).
• $O_C C$ (биссектриса внутреннего $\angle C$) перпендикулярна $O_A O_B$ (биссектриса внешнего $\angle C$).

Значит, отрезки $O_A A$, $O_B B$ и $O_C C$ являются высотами треугольника $O_A O_B O_C$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки $O_A A$, $O_B B$, $O_C C$ являются биссектрисами внутренних углов треугольника $ABC$, а стороны треугольника $O_A O_B O_C$ лежат на биссектрисах его внешних углов. Так как биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего углов перпендикулярны, то отрезки $O_A A$, $O_B B$, $O_C C$ являются высотами треугольника $O_A O_B O_C$.