Номер 157, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

157. a) O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, $AO \cdot OC = BO \cdot OD$, $\angle BAD = 42^\circ$. Найдите $\angle BCD$.

б) Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, $AP = 12$, $PC = 3$, $BP = 4$, $PD = 9$, $\angle CAD = 40^\circ$. Найдите $\angle CBD$.

а)

По условию, в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO \cdot OC = BO \cdot OD$. Известно, что $\angle BAD = 42^\circ$.

Из равенства $AO \cdot OC = BO \cdot OD$ можно получить пропорцию, например, $\frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$. Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle BOC$, так как они являются вертикальными. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC}$. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \sim \triangle BOC$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OAD = \angle OBC$. Эти углы также можно записать как $\angle CAD$ и $\angle CBD$. Равенство углов $\angle CAD = \angle CBD$ означает, что они опираются на одну и ту же хорду $CD$ окружности, проходящей через точки $A, B, C, D$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

Свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$.

Подставляя известное значение угла $\angle BAD$, получаем: $42^\circ + \angle BCD = 180^\circ$.

Отсюда находим $\angle BCD = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.

Ответ: $138^\circ$.

б)

По условию, диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Даны длины отрезков: $AP = 12$, $PC = 3$, $BP = 4$, $PD = 9$. Также известен угол $\angle CAD = 40^\circ$.

Вычислим произведения длин отрезков, на которые точка $P$ делит диагонали:

$AP \cdot PC = 12 \cdot 3 = 36$

$BP \cdot PD = 4 \cdot 9 = 36$

Так как произведения равны ($AP \cdot PC = BP \cdot PD$), из этого равенства можно составить пропорцию. Для того чтобы связать данные углы, рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$. Составим пропорцию из длин их сторон: $\frac{AP}{BP} = \frac{12}{4} = 3$ и $\frac{PD}{PC} = \frac{9}{3} = 3$. Таким образом, $\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PC}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$. Угол $\angle APD$ равен углу $\angle BPC$ как вертикальные. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PC}$. Следовательно, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle APD \sim \triangle BPC$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов. Углу $\angle PAD$ (который является углом $\angle CAD$) в треугольнике $\triangle APD$ соответствует угол $\angle PBC$ (который является углом $\angle CBD$) в треугольнике $\triangle BPC$.

Таким образом, $\angle CAD = \angle CBD$.

По условию $\angle CAD = 40^\circ$, значит, $\angle CBD = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.