Номер 159, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

159. а) В четырехугольнике $ABCD$ $\angle ADB = 45^{\circ}$, $\angle BDC = 70^{\circ}$, $\angle ACB = 45^{\circ}$. Найдите $\angle ABC$.

б) В четырехугольнике $ABCD$ $\angle BAD = 78^{\circ}$, $\angle BCD = 102^{\circ}$, $\angle CBD = 52^{\circ}$. Найдите $\angle CAD$.

а)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Углы $\angle ADB$ и $\angle ACB$ опираются на одну и ту же сторону $AB$. По условию, $\angle ADB = 45^\circ$ и $\angle ACB = 45^\circ$.

Так как углы, опирающиеся на один и тот же отрезок $AB$ и лежащие по одну сторону от него, равны ($\angle ADB = \angle ACB$), то через точки $A$, $B$, $C$ и $D$ можно провести окружность. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

Свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.

Угол $\angle ADC$ является суммой углов $\angle ADB$ и $\angle BDC$, которые даны в условии.

Найдем величину угла $\angle ADC$:

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 45^\circ + 70^\circ = 115^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию даны два противоположных угла: $\angle BAD = 78^\circ$ и $\angle BCD = 102^\circ$.

Проверим, является ли четырехугольник вписанным. Для этого найдем сумму его противоположных углов:

$\angle BAD + \angle BCD = 78^\circ + 102^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность, то есть он является вписанным.

Во вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду), равны. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ оба опираются на дугу $CD$.

Следовательно, эти углы равны: $\angle CAD = \angle CBD$.

По условию задачи $\angle CBD = 52^\circ$.

Таким образом, $\angle CAD = 52^\circ$.

Ответ: $52^\circ$.