Номер 156, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

156. Докажите теорему: «Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведения отрезков диагоналей, на которые они разбиваются точкой пересечения, равны», т. е. если четырехугольник ABCD вписанный, то $AP \cdot PC = BP \cdot PD$ (рис. 144), и обратно.

Рис. 144

Данная теорема утверждает эквивалентность двух условий, поэтому доказательство состоит из двух частей: доказательства прямого и обратного утверждений.

Прямое утверждение: если четырехугольник ABCD вписанный, то $AP \cdot PC = BP \cdot PD$.

Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$.

1. Угол $\angle PAD$ (то же, что и $\angle CAD$) и угол $\angle PBC$ (то же, что и $\angle CBD$) являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $CD$. Следовательно, $\angle PAD = \angle PBC$.

2. Углы $\angle APD$ и $\angle BPC$ равны как вертикальные.

Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). То есть, $\triangle APD \sim \triangle BPC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PC}$

Применяя правило пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$AP \cdot PC = BP \cdot PD$

Прямое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если четырехугольник вписанный, то произведение отрезков его диагоналей, на которые они делятся точкой пересечения, равны.

Обратное утверждение: если в четырехугольнике ABCD выполняется равенство $AP \cdot PC = BP \cdot PD$, то около него можно описать окружность.

Пусть в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, и выполняется равенство $AP \cdot PC = BP \cdot PD$.

Перепишем это равенство в виде пропорции. Например, так:

$\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PC}$

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$.

1. Из условия $\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PC}$ мы имеем пропорциональность двух пар сторон этих треугольников.

2. Углы $\angle APD$ и $\angle BPC$, заключенные между этими сторонами, равны как вертикальные.

Следовательно, треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). То есть, $\triangle APD \sim \triangle BPC$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle PAD = \angle PBC$.

Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ (что то же самое, что $\angle PAD$ и $\angle PBC$) опираются на один и тот же отрезок $CD$. Поскольку вершины этих углов, точки $A$ и $B$, лежат по одну сторону от прямой $CD$, и сами углы равны, то все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности.

Это означает, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Обратное утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если произведение отрезков диагоналей четырехугольника, на которые они делятся точкой пересечения, равны, то он является вписанным.