номер 149, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

149. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 4$, $BC = 6$, $AC = 8$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $K$. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $CBK$.

Треугольники $ABK$ и $CBK$ имеют общую вершину $B$, а их основания $AK$ и $CK$ лежат на одной прямой $AC$. Следовательно, эти треугольники имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Обозначим эту высоту как $h_B$.

Площадь треугольника $ABK$ вычисляется по формуле $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B$.

Площадь треугольника $CBK$ вычисляется по формуле $S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot h_B$.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot CK \cdot h_B} = \frac{AK}{CK}$

Таким образом, задача сводится к нахождению длин отрезков $AK$ и $CK$.

Точка $K$ является точкой касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$. Для нахождения длин отрезков, на которые точка касания делит сторону, воспользуемся свойством вписанной окружности. Расстояние от вершины треугольника до точки касания на прилежащей стороне равно разности полупериметра и длины противолежащей стороны.

Сначала найдем полупериметр $p$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB = 4$, $BC = 6$ и $AC = 8$.

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{4 + 6 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Теперь вычислим длины отрезков $AK$ и $CK$.

Длина отрезка $AK$ равна разности полупериметра и стороны $BC$, противолежащей вершине $A$:

$AK = p - BC = 9 - 6 = 3$.

Длина отрезка $CK$ равна разности полупериметра и стороны $AB$, противолежащей вершине $C$:

$CK = p - AB = 9 - 4 = 5$.

В качестве проверки можно сложить длины отрезков: $AK + CK = 3 + 5 = 8$, что равно длине стороны $AC$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площадей:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AK}{CK} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.