Номер 154, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

154. Докажите, что если в прямоугольную трапецию с основаниями $a$ и $b$ можно вписать окружность, то площадь трапеции $S = ab$.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую можно вписать окружность. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, высоту как $h$ (которая также является одной из боковых сторон), и наклонную боковую сторону как $c$.

Формула для вычисления площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, она является описанным четырехугольником. Для таких четырехугольников справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны. В нашем случае это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = h + c$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить внутри трапеции. Если мы опустим перпендикуляр из вершины, соединяющей меньшее основание $b$ и наклонную сторону $c$, на большее основание $a$, то мы получим прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника будут равны высоте трапеции $h$ и разности оснований $(a-b)$ (при условии $a>b$). Гипотенузой будет наклонная сторона $c$.

Согласно теореме Пифагора для этого треугольника:

$c^2 = h^2 + (a - b)^2$

У нас есть система из двух уравнений с тремя переменными ($h$, $c$, и данные $a, b$):

1) $c = a + b - h$ (из свойства описанной трапеции)

2) $c^2 = h^2 + (a - b)^2$ (из теоремы Пифагора)

Подставим выражение для $c$ из первого уравнения во второе:

$(a + b - h)^2 = h^2 + (a - b)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу для квадрата разности вида $(X-Y)^2$, где $X=(a+b)$, а $Y=h$:

$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a-b)^2$

Теперь раскроем квадраты суммы и разности:

$a^2 + 2ab + b^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим подобные члены ($a^2$, $b^2$, $h^2$), которые присутствуют в обеих частях:

$2ab - 2h(a+b) = -2ab$

Соберем члены, содержащие $ab$, в одной части, а член с $h$ — в другой:

$4ab = 2h(a+b)$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь, зная выражение для высоты, подставим его в формулу площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot \left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

Сокращая множители $(a+b)$ и $2$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$S = ab$

Таким образом, мы доказали, что площадь такой трапеции равна произведению ее оснований. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.