Моделирование, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Из остатков льняной ткани, которые имеют форму прямоугольной трапеции, было решено изготовить салфетку круглой формы. Для этого закройщику из данного куска необходимо вырезать круг наибольшего диаметра.

Используя размеры, которые указаны на рисунке 138, составьте алгоритм нахождения:

а) центра круга наибольшего диаметра;

б) радиуса круга наибольшего диаметра.

30 см

100 см

80 см

Рис. 138

90 см

Интересно знать. Лен является визитной карточкой Республики Беларусь. Крупнейшее экспортно ориентированное предприятие «Оршанский льнокомбинат» — единственный в Республике Беларусь комплексный переработчик льноволокна. Продукция под торговой маркой «Беларускі лён» экспортируется более чем в 40 стран мира.

Для решения задачи смоделируем ситуацию с помощью системы координат. Поместим прямоугольную трапецию в декартову систему координат. Пусть одна из вершин, где прямой угол, находится в начале координат.

Расположим трапецию так, чтобы ее основание длиной 80 см лежало на оси Ox. Один из прямых углов находится в точке (0, 0). Тогда вершины трапеции будут иметь следующие координаты:

• Нижняя левая вершина: A(0, 0).
• Нижняя правая вершина: B(80, 0).
• Верхняя левая вершина: C(0, 30).
• Верхняя правая вершина: D(80, 90).

Стороны трапеции описываются следующими уравнениями:

1. Нижняя сторона (на оси Ox): $y=0$.
2. Левая сторона (на оси Oy): $x=0$.
3. Правая сторона: $x=80$.
4. Наклонная сторона, проходящая через точки C(0, 30) и D(80, 90). Найдем ее уравнение в виде $Ax + By + C = 0$.
   Угловой коэффициент: $k = \frac{90 - 30}{80 - 0} = \frac{60}{80} = \frac{3}{4}$.
   Уравнение прямой: $y - 30 = \frac{3}{4}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + 30$.
   Приведем к общему виду: $4y = 3x + 120 \Rightarrow 3x - 4y + 120 = 0$.

Круг наибольшего диаметра, вписанный в многоугольник, будет касаться как минимум двух его сторон. Центр этого круга $(x_c, y_c)$ должен быть равноудален от сторон, которых он касается. Эта дистанция и будет радиусом $r$.

а) центра круга наибольшего диаметра

Алгоритм нахождения центра круга $(x_c, y_c)$:

1. Предположим, что круг наибольшего радиуса касается трех сторон: нижней $(y=0)$, правой $(x=80)$ и наклонной $(3x - 4y + 120 = 0)$. Это предположение основано на том, что центр круга стремится в наиболее "просторную" часть фигуры, которая находится в правом верхнем углу.

2. Запишем условия того, что расстояния от центра $(x_c, y_c)$ до этих трех сторон равны радиусу $r$:

• Расстояние до прямой $y=0$ равно $y_c$. Итак, $r = y_c$.
• Расстояние до прямой $x=80$ равно $80 - x_c$. Итак, $r = 80 - x_c$.
• Расстояние до прямой $3x - 4y + 120 = 0$ равно $\frac{|3x_c - 4y_c + 120|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3x_c - 4y_c + 120|}{5}$. Так как центр круга находится внутри трапеции, выражение $3x_c - 4y_c + 120$ будет положительным, поэтому $r = \frac{3x_c - 4y_c + 120}{5}$.

3. Составим систему уравнений для нахождения $x_c$, $y_c$ и $r$:

4. Выразим $x_c$ и $y_c$ через $r$ из первых двух уравнений: $y_c = r$ и $x_c = 80 - r$.

5. Подставим эти выражения в третье уравнение:

$r = \frac{3(80 - r) - 4(r) + 120}{5}$

6. Решим полученное уравнение относительно $r$:

$5r = 3(80 - r) - 4r + 120$ $5r = 240 - 3r - 4r + 120$ $5r = 360 - 7r$ $12r = 360$ $r = 30$ см.

7. Найдем координаты центра $(x_c, y_c)$, подставив найденное значение $r$:

$y_c = r = 30$ $x_c = 80 - r = 80 - 30 = 50$

Итак, центр круга находится в точке с координатами $(50, 30)$.

8. Проверим, что круг с центром $(50, 30)$ и радиусом $30$ полностью лежит внутри трапеции. Мы уже учли касание трех сторон. Осталось проверить расстояние до четвертой стороны $x=0$. Расстояние от центра $(50, 30)$ до прямой $x=0$ равно $x_c = 50$ см. Так как $50 > r=30$, круг не пересекает левую границу. Следовательно, найденный центр и радиус верны для круга наибольшего диаметра.

Ответ: центр круга наибольшего диаметра находится в точке с координатами $(50, 30)$ в заданной системе координат, где левая короткая сторона лежит на оси OY, а нижнее основание на оси OX.

б) радиуса круга наибольшего диаметра

Алгоритм нахождения радиуса круга $r$ тесно связан с нахождением центра и фактически является частью предыдущего пункта.

1. Ввести систему координат и определить уравнения прямых, образующих стороны трапеции, как это было сделано выше.

2. Сформулировать задачу как нахождение максимального значения $r$, при котором существует точка $(x_c, y_c)$ внутри трапеции, такая, что расстояния от нее до всех четырех сторон не меньше $r$.

3. Составить систему уравнений, предполагая, что круг максимального радиуса будет касаться трех сторон: нижней $(y=0)$, правой $(x=80)$ и наклонной $(3x - 4y + 120 = 0)$. Центр $(x_c, y_c)$ и радиус $r$ связаны соотношениями:

$$ \begin{cases} r = y_c \\ r = 80 - x_c \\ r = \frac{3x_c - 4y_c + 120}{5} \end{cases} $$

4. Исключить из системы переменные $x_c$ и $y_c$, чтобы получить уравнение только для $r$. Из первых двух уравнений получаем $y_c = r$ и $x_c = 80 - r$.

5. Подставить выражения для $x_c$ и $y_c$ в третье уравнение:

$r = \frac{3(80 - r) - 4(r) + 120}{5}$

6. Решить это линейное уравнение относительно $r$:

$5r = 240 - 3r - 4r + 120$

$5r = 360 - 7r$

$12r = 360$

$r = 30$

7. Полученное значение $r = 30$ см является радиусом круга наибольшего диаметра.

Ответ: радиус круга наибольшего диаметра равен $30$ см.