Номер 153, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

153. В равнобедренную трапецию площадью $32 \text{ см}^2$ с углом $30^\circ$ вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ и $b$, боковой стороной $c$, высотой $h$ и острым углом при основании $\alpha = 30^\circ$. Площадь трапеции $S = 32$ см².

1. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. Для равнобедренной трапеции это означает:

$a + b = c + c = 2c$

2. Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру вписанной окружности. Если $r$ — радиус окружности, то:

$h = 2r$

3. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $c$, одним из катетов — высота $h$, а прилежащий к высоте острый угол равен $\alpha = 30^\circ$. В этом треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$

Отсюда можно выразить боковую сторону $c$:

$c = \frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$

4. Теперь свяжем все величины. Мы знаем, что $h = 2r$. Подставим это в выражение для $c$:

$c = 2 \cdot (2r) = 4r$

Подставим полученное значение $c$ в условие для вписанной окружности:

$a + b = 2c = 2 \cdot (4r) = 8r$

5. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим в эту формулу известные нам данные и выражения через $r$:

$S = 32$

$a+b = 8r$

$h = 2r$

$32 = \frac{8r}{2} \cdot 2r$

$32 = 4r \cdot 2r$

$32 = 8r^2$

Теперь найдём $r^2$:

$r^2 = \frac{32}{8} = 4$

Поскольку радиус не может быть отрицательным, извлекаем квадратный корень:

$r = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.