Номер 158, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

158. В трапеции $ABCD$ основания $AD = 12$, $BC = 4$, боковая сторона $AB = 5$, $\angle BAC = \angle CDB$. Найдите площадь трапеции.

Пусть диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$.
Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), то треугольники $\triangle BCP$ и $\triangle DAP$ подобны по двум углам. Углы $\angle CBP$ и $\angle ADP$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$. Аналогично, $\angle BCP = \angle DAP$ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей $AC$.
Из подобия треугольников $\triangle BCP$ и $\triangle DAP$ следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BP}{DP} = \frac{CP}{AP} = \frac{BC}{AD}$.
Подставляя известные значения длин оснований, получаем коэффициент подобия:

$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, $DP = 3BP$ и $AP = 3CP$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle DCP$.

По условию задачи дано, что $\angle BAC = \angle CDB$. Эти углы можно записать как $\angle PAB$ и $\angle PDC$.

Углы $\angle APB$ и $\angle DPC$ равны как вертикальные.
Таким образом, треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle DCP$ подобны по двум углам (признак подобия АА).
Из их подобия следует соотношение сторон:

$\frac{AB}{DC} = \frac{AP}{DP} = \frac{BP}{CP}$.

Объединим полученные соотношения. Из первого подобия мы установили, что $AP = 3CP$ и $DP = 3BP$. Подставим это в соотношение $\frac{AP}{DP}$ из второго подобия:

$\frac{AP}{DP} = \frac{3CP}{3BP} = \frac{CP}{BP}$.
Из второго подобия мы также имеем соотношение $\frac{AP}{DP} = \frac{BP}{CP}$.

Приравнивая эти два выражения для $\frac{AP}{DP}$, получаем:

$\frac{CP}{BP} = \frac{BP}{CP} \implies CP^2 = BP^2$.

Так как длины отрезков положительны, то $CP = BP$.

Теперь вернемся к соотношению $\frac{AB}{DC} = \frac{BP}{CP}$. Поскольку $BP = CP$, это отношение равно 1.

Следовательно, $\frac{AB}{DC} = 1$, что означает $AB = DC$.

По условию $AB=5$, значит и боковая сторона $DC=5$. Трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции необходимо найти ее высоту. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Образуется прямоугольник $BCKH$, поэтому $HK = BC = 4$.

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны: $AH = KD$.

Длину этих отрезков можно найти как $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора, $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

Высота трапеции $h = BH$.

$5^2 = 4^2 + h^2$

$25 = 16 + h^2$

$h^2 = 25 - 16 = 9$

$h = 3$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания.
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{12 + 4}{2} \cdot 3 = \frac{16}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24.