номер 162, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

162. Найдите радиус вневписанной окружности равностороннего треугольника со стороной, равной $a$.

Для нахождения радиуса $r_e$ вневписанной окружности равностороннего треугольника воспользуемся общей формулой для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны $c$ треугольника: $r_c = \frac{S}{p-c}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр. В равностороннем треугольнике все три вневписанные окружности имеют одинаковый радиус.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда его полупериметр $p$ и площадь $S$ вычисляются следующим образом:
Полупериметр: $p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$
Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Найдем радиус вневписанной окружности, касающейся одной из сторон. Для этого сначала вычислим знаменатель $p-a$ в формуле:

$p-a = \frac{3a}{2} - a = \frac{3a - 2a}{2} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим полученные значения площади $S$ и разности $p-a$ в исходную формулу для радиуса:

$r_e = \frac{S}{p-a} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}$

Упростим полученное выражение, чтобы найти окончательный ответ:

$r_e = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{a} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$