Номер 166, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

166. В прямоугольном треугольнике с катетами 15 и 20 к гипотенузе проведена высота. Она разбивает данный треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждый из полученных треугольников вписана окружность. Найдите:

а) расстояние между точками касания этих окружностей с указанной высотой;

б) расстояние между центрами этих окружностей.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 15$ и $BC = 20$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$.

Пусть $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CH$
Отсюда найдем высоту $CH$:
$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$.

Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $AHC$ и $BHC$. Найдем длины отрезков $AH$ и $BH$, на которые высота делит гипотенузу, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
$AC^2 = AH \cdot AB \Rightarrow 15^2 = AH \cdot 25 \Rightarrow 225 = 25 \cdot AH \Rightarrow AH = 9$.
$BC^2 = BH \cdot AB \Rightarrow 20^2 = BH \cdot 25 \Rightarrow 400 = 25 \cdot BH \Rightarrow BH = 16$.
Проверка: $AH + BH = 9 + 16 = 25 = AB$.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника:
1. $AHC$ с катетами $AH = 9$, $CH = 12$ и гипотенузой $AC = 15$.
2. $BHC$ с катетами $BH = 16$, $CH = 12$ и гипотенузой $BC = 20$.

Найдем радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники. Формула для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
Для треугольника $AHC$:
$r_1 = \frac{AH + CH - AC}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Для треугольника $BHC$:
$r_2 = \frac{BH + CH - BC}{2} = \frac{16 + 12 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

а) расстояние между точками касания этих окружностей с указанной высотой;

Рассмотрим треугольники $AHC$ и $BHC$. Высота $CH$ является общим катетом для них. Пусть $K_1$ и $K_2$ — точки касания вписанных окружностей с катетом $CH$.
Для любого прямоугольного треугольника расстояние от вершины прямого угла до точки касания вписанной окружности на катете равно радиусу этой окружности. В обоих треугольниках $AHC$ и $BHC$ прямой угол находится в вершине $H$.
Следовательно, расстояние от точки $H$ до точки касания $K_1$ на катете $CH$ равно $r_1$, то есть $HK_1 = 3$.
Аналогично, расстояние от точки $H$ до точки касания $K_2$ на катете $CH$ равно $r_2$, то есть $HK_2 = 4$.
Обе точки $K_1$ и $K_2$ лежат на отрезке $CH$. Искомое расстояние между ними равно модулю разности их расстояний от точки $H$:
$d = |HK_1 - HK_2| = |3 - 4| = 1$.

Ответ: 1

б) расстояние между центрами этих окружностей.

Введем систему координат. Поместим начало координат в точку $H$. Направим ось $Ox$ вдоль гипотенузы $AB$, а ось $Oy$ — вдоль высоты $CH$.
Тогда вершины треугольников будут иметь координаты: $H(0, 0)$, $A(-9, 0)$, $B(16, 0)$, $C(0, 12)$.
Центр $O_1$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник $AHC$ (с вершинами $A(-9,0)$, $H(0,0)$, $C(0,12)$) находится в точке с координатами $(-r_1, r_1)$, так как его катеты лежат на отрицательной полуоси $Ox$ и положительной полуоси $Oy$.
$O_1 = (-3, 3)$.
Центр $O_2$ вписанной окружности в прямоугольный треугольник $BHC$ (с вершинами $B(16,0)$, $H(0,0)$, $C(0,12)$) находится в точке с координатами $(r_2, r_2)$, так как его катеты лежат на положительных полуосях $Ox$ и $Oy$.
$O_2 = (4, 4)$.
Найдем расстояние между точками $O_1(-3, 3)$ и $O_2(4, 4)$ по формуле расстояния между двумя точками:
$d(O_1, O_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$.
Упростим результат: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$