Номер 170, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

170. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16 двумя способами: традиционным и с помощью формулы Эйлера.

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 12$ и $b = 16$. Прежде чем переходить к двум способам решения, найдем основные параметры треугольника, которые понадобятся в обоих случаях.

1. Гипотенуза $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$.

2. Радиус описанной окружности $R$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а радиус равен ее половине:

$R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

3. Радиус вписанной окружности $r$. Для прямоугольного треугольника он вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

традиционным

Этот способ основан на использовании метода координат. Поместим треугольник в декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла совпала с началом координат $C(0, 0)$, а катеты лежали на осях. Тогда вершины треугольника имеют координаты: $C(0, 0)$, $A(0, 12)$ и $B(16, 0)$.

Центр описанной окружности $O$ является серединой гипотенузы $AB$. Найдем его координаты:

$O = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{0 + 16}{2}, \frac{12 + 0}{2}\right) = (8, 6)$.

Центр вписанной окружности $I$ равноудален от катетов на расстояние $r$. В выбранной системе координат его координаты будут $(r, r)$. Поскольку $r=4$, то $I(4, 4)$.

Расстояние $d$ между центрами $O(8, 6)$ и $I(4, 4)$ найдем по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_O - x_I)^2 + (y_O - y_I)^2} = \sqrt{(8 - 4)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

с помощью формулы Эйлера

Формула Эйлера связывает расстояние $d$ между центрами вписанной и описанной окружностей с их радиусами $r$ и $R$:

$d^2 = R(R - 2r)$.

Мы уже вычислили, что $R = 10$ и $r = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$d^2 = 10 \cdot (10 - 2 \cdot 4) = 10 \cdot (10 - 8) = 10 \cdot 2 = 20$.

Тогда расстояние $d$ равно:

$d = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.