Номер 164, страница 89 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

164. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $M$, продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $N$ и $P$ соответственно. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $AB$ в точке $L$. Докажите, что:

а) $AN = \frac{1}{2} P_{ABC}$;

б) $NL = BC$.

а) Докажите, что $AN = \frac{1}{2}P_{ABC}$

Пусть дана вневписанная окружность треугольника $ABC$, которая касается стороны $BC$ в точке $M$, а продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $N$ и $P$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для вершин треугольника $A$, $B$ и $C$:

• Для точки $A$, являющейся точкой пересечения касательных $AN$ и $AP$, имеем: $AN = AP$.
• Для точки $B$, являющейся точкой пересечения касательных $BN$ и $BM$, имеем: $BN = BM$.
• Для точки $C$, являющейся точкой пересечения касательных $CP$ и $CM$, имеем: $CP = CM$.

Рассмотрим сумму длин отрезков $AN$ и $AP$. Точка $N$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, а точка $P$ — на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Поэтому:

$AN = AB + BN$

$AP = AC + CP$

Сложим эти два равенства:

$AN + AP = (AB + BN) + (AC + CP)$

Используя равенства $BN=BM$ и $CP=CM$, получим:

$AN + AP = AB + BM + AC + CM$

Сгруппируем слагаемые:

$AN + AP = (AB + AC) + (BM + CM)$

Так как точка $M$ лежит на стороне $BC$, сумма длин отрезков $BM$ и $CM$ равна длине стороны $BC$: $BM + CM = BC$.

Подставив это в наше выражение, получаем, что сумма $AN + AP$ равна периметру треугольника $ABC$:

$AN + AP = AB + AC + BC = P_{ABC}$

Поскольку $AN = AP$, мы можем заменить $AP$ на $AN$:

$AN + AN = 2AN = P_{ABC}$

Отсюда следует, что:

$AN = \frac{1}{2}P_{ABC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $NL = BC$

Рассмотрим вписанную в треугольник $ABC$ окружность. По условию, она касается стороны $AB$ в точке $L$ и стороны $AC$ в точке $K$.

Длина отрезка касательной, проведенной от вершины треугольника к вписанной окружности, равна разности полупериметра и длины противолежащей стороны. Для вершины $A$ и точки касания $L$ на стороне $AB$ имеем:

$AL = p - BC$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.

Напомним, что полупериметр $p = \frac{1}{2}P_{ABC} = \frac{AB + AC + BC}{2}$.

Из пункта а) мы знаем, что $AN = \frac{1}{2}P_{ABC}$, то есть $AN = p$.

Точка $L$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на продолжении стороны $AB$ за точку $B$. Следовательно, точки на прямой $AN$ расположены в порядке $A - L - B - N$. Длина отрезка $NL$ может быть найдена как разность длин отрезков $AN$ и $AL$, проведенных из общей точки $A$:

$NL = AN - AL$

Подставим известные нам выражения для $AN$ и $AL$:

$NL = p - (p - BC)$

Раскрыв скобки, получаем:

$NL = p - p + BC = BC$

Таким образом, мы доказали, что $NL = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.