Номер 144, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

144. а) Окружность радиусом 3 см вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно 4 см. Найдите боковые стороны и большее основание трапеции.

б) В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояния от центра этой окружности до концов большей боковой стороны равны 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

а)

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AB$ – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям, $CD$ – большая боковая сторона. $BC$ – меньшее основание, $AD$ – большее основание.

По условию, радиус вписанной окружности $r = 3$ см, а меньшее основание $BC = 4$ см.

Высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Следовательно, боковая сторона $AB$ (которая является высотой) равна:

$AB = h = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Основное свойство описанного четырехугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность) гласит, что суммы длин противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Подставим известные значения:

$6 + CD = 4 + AD$

$CD = AD - 2$

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. Катет $CH$ равен высоте трапеции, то есть $CH = AB = 6$ см. Другой катет $HD$ равен разности оснований:

$HD = AD - AH = AD - BC = AD - 4$

По теореме Пифагора в треугольнике $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2$

$CD^2 = 6^2 + (AD - 4)^2$

$CD^2 = 36 + (AD - 4)^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $CD$ и $AD$:

1) $CD = AD - 2$

2) $CD^2 = 36 + (AD - 4)^2$

Подставим выражение для $CD$ из первого уравнения во второе:

$(AD - 2)^2 = 36 + (AD - 4)^2$

$AD^2 - 4AD + 4 = 36 + AD^2 - 8AD + 16$

$AD^2 - 4AD + 4 = AD^2 - 8AD + 52$

$-4AD + 4 = -8AD + 52$

$8AD - 4AD = 52 - 4$

$4AD = 48$

$AD = 12$ см.

Мы нашли большее основание. Теперь найдем большую боковую сторону $CD$:

$CD = AD - 2 = 12 - 2 = 10$ см.

Итак, боковые стороны равны 6 см и 10 см, а большее основание равно 12 см.

Ответ: боковые стороны 6 см и 10 см, большее основание 12 см.

б)

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с прямыми углами $A$ и $B$. $CD$ – большая боковая сторона. $O$ – центр вписанной окружности. По условию, расстояния от центра $O$ до концов большей боковой стороны $CD$ равны $OC = 15$ см и $OD = 20$ см.

Центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его углов. Значит, $CO$ и $DO$ – биссектрисы углов $C$ и $D$ трапеции.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $COD$. Сумма его углов, прилежащих к стороне $CD$, равна:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Следовательно, угол $\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Это означает, что треугольник $COD$ – прямоугольный с гипотенузой $CD$.

По теореме Пифагора найдем длину стороны $CD$:

$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$CD = \sqrt{625} = 25$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ является высотой треугольника $COD$, проведенной к гипотенузе $CD$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CD \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r$.

Приравняем два выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r = 150$

$25r = 300$

$r = 12$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности: $h = AB = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$ нам нужна сумма оснований $BC+AD$.

Используем свойство описанной трапеции, согласно которому сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$BC + AD = AB + CD$

$BC + AD = 24 + 25 = 49$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{49}{2} \cdot 24 = 49 \cdot 12 = 588$ см$^2$.

Ответ: 588 см$^2$.