Номер 145, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

145. Центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, лежит внутри трапеции. Основания трапеции равны 6 см и 8 см, высота равна 7 см. Найдите диаметр описанной окружности.

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Пусть основаниями трапеции являются $AD$ и $BC$, где по условию $AD = 8$ см и $BC = 6$ см. Высота трапеции $h = 7$ см.

Центр $O$ описанной окружности равноудален от всех вершин трапеции и лежит на оси симметрии трапеции. Ось симметрии проходит через середины оснований перпендикулярно им. Пусть $M$ — середина $BC$, а $N$ — середина $AD$. Тогда отрезок $MN$ является высотой трапеции, и его длина $MN = 7$ см. Так как по условию центр окружности лежит внутри трапеции, точка $O$ принадлежит отрезку $MN$.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Соединим центр $O$ с вершинами $B$ и $A$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle ONA$.

В треугольнике $\triangle OMB$: гипотенуза $OB = R$, катет $MB$ равен половине основания $BC$, то есть $MB = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В треугольнике $\triangle ONA$: гипотенуза $OA = R$, катет $NA$ равен половине основания $AD$, то есть $NA = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Пусть расстояние от центра $O$ до меньшего основания $BC$ равно $x$, то есть $OM = x$. Тогда расстояние от центра $O$ до большего основания $AD$ будет равно $ON = MN - OM = 7 - x$.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, чтобы выразить радиус $R$:

1) Из $\triangle OMB$: $R^2 = OM^2 + MB^2 = x^2 + 3^2 = x^2 + 9$.

2) Из $\triangle ONA$: $R^2 = ON^2 + NA^2 = (7 - x)^2 + 4^2 = (7 - x)^2 + 16$.

Так как левые части обоих уравнений равны ($R^2$), приравняем их правые части:

$x^2 + 9 = (7 - x)^2 + 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 + 9 = 49 - 14x + x^2 + 16$

$x^2 + 9 = x^2 - 14x + 65$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$9 = -14x + 65$

$14x = 65 - 9$

$14x = 56$

$x = \frac{56}{14} = 4$ см.

Теперь найдем квадрат радиуса, подставив значение $x = 4$ в первое уравнение:

$R^2 = 4^2 + 9 = 16 + 9 = 25$

Следовательно, радиус окружности равен:

$R = \sqrt{25} = 5$ см.

Диаметр описанной окружности $D$ равен удвоенному радиусу:

$D = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.