Номер 131, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

131. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle B + \angle D = 180^\circ$, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AO = 3$ см, $BO = 6$ см, $DO = 4$ см. Найдите длину отрезка $CO$.

Поскольку в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ сумма противолежащих углов $∠B + ∠D = 180°$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Такой четырехугольник является вписанным.

Диагонали $AC$ и $BD$ являются хордами этой окружности, которые пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $△AOB$ и $△DOC$.

1. $∠AOB = ∠DOC$ как вертикальные углы.

2. $∠OAB$ (он же $∠CAB$) и $∠ODC$ (он же $∠CDB$) являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, эти углы равны: $∠OAB = ∠ODC$.

Так как два угла треугольника $△AOB$ соответственно равны двум углам треугольника $△DOC$, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников $△AOB \sim △DOC$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO} $

Подставим в это соотношение известные длины отрезков: $AO = 3$ см, $BO = 6$ см, $DO = 4$ см.

$ \frac{3}{4} = \frac{6}{CO} $

Теперь решим полученное уравнение относительно $CO$:

$ 3 \cdot CO = 4 \cdot 6 $

$ 3 \cdot CO = 24 $

$ CO = \frac{24}{3} $

$ CO = 8 $ см.

Замечание: полученное соотношение $AO \cdot CO = BO \cdot DO$ является свойством пересекающихся хорд в окружности (теорема о степени точки).

Ответ: 8 см.