Номер 133, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

133. а) Дана равнобедренная трапеция, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне. Меньшее основание трапеции равно 6 см, а радиус описанной окружности — 5 см. Найдите площадь трапеции.

б) Трапеция ABCD вписана в окружность, большее основание трапеции является диаметром, меньшее основание равно 12 см, высота трапеции равна 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, меньшее основание $BC = 6$ см, а радиус описанной окружности $R=5$ см. Диагональ перпендикулярна боковой стороне, например, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. Это означает, что угол $\angle ACD = 90^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, все ее вершины лежат на этой окружности. Следовательно, эта окружность является описанной и для треугольника $ACD$.

Треугольник $ACD$ является прямоугольным, так как $\angle ACD = 90^\circ$. Известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. В $\triangle ACD$ гипотенузой является сторона $AD$.

Таким образом, большее основание $AD$ является диаметром описанной окружности. Его длина равна $AD = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь известны оба основания трапеции: $AD = 10$ см и $BC = 6$ см. Для нахождения площади трапеции по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$ необходимо найти ее высоту $h$.

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется по формуле: $KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем $CK$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AD$. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу. То есть, $CK^2 = AK \cdot KD$.

Длина отрезка $AK$ составляет $AK = AD - KD = 10 - 2 = 8$ см.

Теперь можем найти высоту $h = CK$: $h^2 = AK \cdot KD = 8 \cdot 2 = 16$. Следовательно, $h = \sqrt{16} = 4$ см.

Наконец, вычисляем площадь трапеции: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{10+6}{2} \cdot 4 = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32$ см².

Ответ: 32 см².

б)

Дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Любая вписанная в окружность трапеция является равнобедренной. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $AD$ является диаметром окружности, $BC = 12$ см, а высота трапеции $h = 8$ см.

Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле $m = \frac{AD+BC}{2}$. Для ее вычисления необходимо найти длину большего основания $AD$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности, а $R$ — ее радиус. Так как $AD$ — диаметр, то центр $O$ является серединой $AD$, и $AD = 2R$.

Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OM$ к меньшему основанию $BC$. Так как трапеция равнобедренная, ее ось симметрии проходит через середины оснований, поэтому точка $M$ будет серединой отрезка $BC$. Расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ равно высоте трапеции, поэтому длина отрезка $OM$ равна $h = 8$ см.

Поскольку $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $OMC$. Он является прямоугольным, так как $OM \perp BC$. Катеты равны $OM = 8$ см и $MC = 6$ см. Гипотенуза $OC$ является радиусом окружности. По теореме Пифагора: $OC^2 = OM^2 + MC^2$.

Подставив известные значения, найдем квадрат радиуса: $R^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Отсюда радиус равен $R = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь находим длину большего основания $AD$, которое является диаметром: $AD = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Наконец, вычисляем среднюю линию трапеции: $m = \frac{AD+BC}{2} = \frac{20+12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Ответ: 16 см.