Номер 122, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

122. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 9 см и 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. По условию, длины этих отрезков равны $9$ см и $16$ см. Найдем длину гипотенузы $c$ как сумму длин этих отрезков:
$c = 9 \text{ см} + 16 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

Теперь найдем длины катетов, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: катет является средним геометрическим между гипотенузой и своей проекцией на нее.
Один катет, назовем его $a$, будет равен:
$a = \sqrt{c \cdot 16} = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.
Второй катет, $b$, будет равен:
$b = \sqrt{c \cdot 9} = \sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$.

Зная все стороны треугольника ($a=20$ см, $b=15$ см, $c=25$ см), можем найти радиус $r$ вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника он вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим найденные значения:
$r = \frac{20 + 15 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.