Номер 118, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

118. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен 13 см, вписанной — 4 см. Найдите периметр и площадь треугольника.

Периметр

Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, а c – его гипотенуза. По условию, радиус описанной окружности $R=13$ см, а радиус вписанной окружности $r=4$ см.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, поэтому радиус $R$ равен половине длины гипотенузы. Найдем гипотенузу c:

$c = 2R = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Используя эту формулу, найдем сумму катетов a + b:

$a + b = 2r + c = 2 \cdot 4 + 26 = 8 + 26 = 34$ см.

Периметр $P$ – это сумма длин всех сторон треугольника. Подставив найденные значения, получим:

$P = (a + b) + c = 34 + 26 = 60$ см.

Ответ: периметр треугольника равен 60 см.

Площадь

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле, связывающей ее с полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности $r$: $S = p \cdot r$.

Периметр треугольника, найденный в предыдущем пункте, равен $P = 60$ см. Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Подставим известные значения $p$ и $r$ в формулу для площади:

$S = 30 \cdot 4 = 120$ см².

Ответ: площадь треугольника равна 120 см².