Номер 111, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

111. По данным на рисунках 117, а) —в) найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

a) $A$, $B$, $C$, $32^\circ$, $58^\circ$, $18$

б) $A$, $B$, $C$, $10$, $8$, $6$

в) $S_{ABC} = 60$

$A$, $B$, $C$, $8$, $15$

Рис. 117

а)

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся расширенной теоремой синусов: $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

В треугольнике $ABC$ известны два угла: $\angle A = 32^\circ$ и $\angle C = 58^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (32^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол $\angle B$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине длины гипотенузы.

Гипотенузой является сторона $AC$, противолежащая прямому углу. По условию, длина стороны $AC = 18$.

Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 9.

б)

В треугольнике $ABC$ известны длины всех трёх сторон: $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 10$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$BC^2 = 10^2 = 100$.

$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Так как $BC^2 = AB^2 + AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$ (угол, противолежащий стороне $BC$).

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Гипотенузой в данном треугольнике является сторона $BC$.

$R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5.

в)

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности можно использовать формулу, связывающую радиус, стороны и площадь треугольника: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

По условию, нам известны длины двух сторон $AB=c=8$, $AC=b=15$ и площадь треугольника $S_{ABC}=60$.

Площадь треугольника также можно выразить через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

Подставим известные значения, чтобы найти $\sin A$:

$60 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot \sin A$

$60 = 60 \cdot \sin A$

Отсюда $\sin A = 1$.

Поскольку $\sin A = 1$, угол $A$ равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с катетами $AB = 8$ и $AC = 15$.

Гипотенузу $BC = a$ найдем по теореме Пифагора:

$a^2 = b^2 + c^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.

$a = \sqrt{289} = 17$.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

$R = \frac{a}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$.

Ответ: 8.5.