Гимнастика ума, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ (рис. 109), равен $2 \text{ см}$, площадь треугольника $S = 2025 \text{ см}^2$. Найдите устно периметр $P$ треугольника $ABC$.

Каким свойством, по вашему мнению, обладает треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен $2$? Обоснуйте ваше предположение.

Рис. 109

Найдите устно периметр P треугольника ABC.

Для решения этой задачи используется формула, связывающая площадь треугольника $S$, радиус вписанной в него окружности $r$ и его периметр $P$. Формула имеет вид: $S = p \cdot r$, где $p$ — это полупериметр треугольника, то есть $p = \frac{P}{2}$.
Подставим выражение для полупериметра в основную формулу:

$S = \frac{P}{2} \cdot r$.
Теперь выразим из этой формулы периметр $P$:

$P = \frac{2S}{r}$.
Из условия задачи нам известны площадь $S = 2025 \text{ см}^2$ и радиус вписанной окружности $r = 2 \text{ см}$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$P = \frac{2 \cdot 2025}{2}$.
Как видно из выражения, множитель 2 в числителе и делитель 2 в знаменателе сокращаются, что позволяет легко вычислить результат устно:

$P = 2025 \text{ см}$.
Ответ: $P = 2025 \text{ см}$.

Каким свойством, по вашему мнению, обладает треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен 2? Обоснуйте ваше предположение.

Если радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, то такой треугольник обладает интересным свойством, касающимся численных значений его площади и периметра.
Обоснование этого предположения вытекает из той же формулы, что использовалась в первом пункте: $S = \frac{P}{2} \cdot r$.
Подставим в эту формулу значение радиуса $r=2$:

$S = \frac{P}{2} \cdot 2$.
Сократив двойки, мы получаем простое равенство:

$S = P$.
Таким образом, свойство заключается в том, что у любого треугольника, радиус вписанной окружности которого равен 2 (в определенных единицах длины), численное значение площади (в соответствующих квадратных единицах) будет равно численному значению периметра (в линейных единицах). Первая часть задачи является частным примером этого свойства, так как $S = 2025 \text{ см}^2$ и $P = 2025 \text{ см}$.
Ответ: У треугольника, в который вписана окружность с радиусом 2, численное значение площади равно численному значению периметра ($S=P$).