Номер 108, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

108. а) Докажите, что около данного треугольника можно описать только одну окружность.

б) Докажите, что в данный треугольник можно вписать только одну окружность.

а) Докажем, что около данного треугольника можно описать только одну окружность.

Окружность, описанная около треугольника, — это окружность, проходящая через все три его вершины. Пусть дан треугольник $ABC$. Если существует окружность, описанная около него, то её центр $O$ должен быть равноудалён от всех вершин треугольника. То есть, должны выполняться равенства $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус окружности.

Множество точек, равноудалённых от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом:

1. Из условия $OA = OB$ следует, что центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

2. Из условия $OB = OC$ следует, что центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Следовательно, центр описанной окружности должен быть точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Так как вершины треугольника $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой, то прямые $AB$ и $BC$ не параллельны. Поэтому и серединные перпендикуляры к этим сторонам не параллельны и пересекаются в одной-единственной точке. Назовём эту точку $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, то $OA=OB$. Поскольку $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, то $OB=OC$. Отсюда следует, что $OA=OC$, а это означает, что точка $O$ лежит и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$, и эта точка является единственной точкой, равноудалённой от всех вершин треугольника.

Эта точка $O$ и является центром единственно возможной описанной окружности. Радиус этой окружности также определён однозначно как расстояние от точки $O$ до любой из вершин, например, $R=OA$.

Поскольку центр и радиус определяются однозначно, то и сама окружность, которую можно описать около данного треугольника, является единственной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что в данный треугольник можно вписать только одну окружность.

Окружность, вписанная в треугольник, — это окружность, касающаяся всех трёх его сторон. Пусть дан треугольник $ABC$. Если существует окружность, вписанная в него, то её центр $I$ должен быть равноудалён от всех сторон треугольника. То есть, расстояние от центра $I$ до каждой из сторон $AB$, $BC$, $AC$ должно быть одинаковым и равным радиусу $r$.

Множество точек, равноудалённых от сторон угла, есть биссектриса этого угла. Таким образом:

1. Условие равноудалённости центра $I$ от сторон $AB$ и $AC$ означает, что точка $I$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle A$.

2. Условие равноудалённости центра $I$ от сторон $BA$ и $BC$ означает, что точка $I$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle B$.

Следовательно, центр вписанной окружности должен быть точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Биссектрисы двух углов треугольника (например, $\angle A$ и $\angle B$) всегда пересекаются внутри треугольника в одной-единственной точке. Назовём эту точку $I$.

Поскольку точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Поскольку точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Отсюда следует, что точка $I$ равноудалена от всех трёх сторон треугольника. А это означает, что точка $I$ лежит также и на биссектрисе угла $\angle C$.

Таким образом, все три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке $I$, и эта точка является единственной точкой, равноудалённой от всех сторон треугольника.

Эта точка $I$ и является центром единственно возможной вписанной окружности. Радиус этой окружности также определён однозначно как расстояние (длина перпендикуляра) от точки $I$ до любой из сторон.

Поскольку центр и радиус определяются однозначно, то и сама окружность, которую можно вписать в данный треугольник, является единственной.

Ответ: Что и требовалось доказать.