Номер 101, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

101. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$, которая касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $M$, $N$ и $K$.

Найдите:

а) $\angle MNK$, если $\angle A = 70^\circ$;

б) $\angle AOB$, если $\angle KMN = 64^\circ$.

а)

Рассмотрим четырехугольник $AMOK$. Поскольку $M$ и $K$ — точки касания, радиусы, проведенные в эти точки, перпендикулярны сторонам треугольника. Следовательно, $\angle AMO = 90^\circ$ и $\angle AKO = 90^\circ$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Для $AMOK$ имеем:

$\angle A + \angle AMO + \angle MOK + \angle AKO = 360^\circ$

Подставим известные значения:

$70^\circ + 90^\circ + \angle MOK + 90^\circ = 360^\circ$

$250^\circ + \angle MOK = 360^\circ$

$\angle MOK = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$

Угол $\angle MOK$ является центральным углом, опирающимся на дугу $MK$. Угол $\angle MNK$ — вписанный угол, который опирается на ту же дугу $MK$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

$\angle MNK = \frac{1}{2} \angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$

Ответ: $55^\circ$.

б)

Найдем связь между углом $\angle KMN$ треугольника, образованного точками касания, и углами исходного треугольника $ABC$.

Рассмотрим угол $\angle CKN$. Он образован касательной $AC$ (которая содержит хорду $CK$) и хордой $KN$. По теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине угловой меры дуги $KN$, на которую он опирается. Угол $\angle KMN$ является вписанным и опирается на ту же дугу $KN$, следовательно, $\angle KMN = \angle CKN$.

Рассмотрим треугольник $CKN$. Поскольку $CK$ и $CN$ — отрезки касательных, проведенных из одной точки $C$ к окружности, то $CK = CN$. Значит, треугольник $CKN$ — равнобедренный с основанием $KN$.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle CKN = \angle CNK$.

Сумма углов треугольника $CKN$ равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle CKN = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$

Таким образом, мы получили связь: $\angle KMN = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$.

По условию $\angle KMN = 64^\circ$. Подставим это значение:

$64^\circ = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$

$\frac{\angle C}{2} = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$

$\angle C = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$

Теперь найдем $\angle AOB$. Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника $ABC$. Следовательно, $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно.

В треугольнике $AOB$ имеем:

$\angle OAB = \frac{\angle A}{2}$

$\angle OBA = \frac{\angle B}{2}$

Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

$\angle AOB = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Из треугольника $ABC$ известно, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Подставим это в выражение для $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle C}{2} = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$

Мы ранее нашли, что $\frac{\angle C}{2} = 26^\circ$.

$\angle AOB = 90^\circ + 26^\circ = 116^\circ$

Ответ: $116^\circ$.