Номер 105, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

105. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O$ (рис. 107), высота $AM$ проходит через точку $O$, $AM : BC = 2 : 3$, $P_{ABC} = 64$. Найдите радиус вписанной окружности.

Поскольку центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис треугольника, а по условию он лежит на высоте $AM$, то высота $AM$ также является и биссектрисой угла $\angle BAC$. Треугольник, в котором высота, проведенная из вершины, совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC$).

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AM$, проведенная к основанию $BC$, является также и медианой. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $BC$, и $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

Из условия задачи имеем соотношение $AM : BC = 2 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AM = 2x$ и $BC = 3x$. Отсюда $BM = \frac{1}{2}BC = \frac{3x}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$, так как $AM$ — высота). Применим теорему Пифагора для нахождения стороны $AB$:

$AB^2 = AM^2 + BM^2 = (2x)^2 + (\frac{3x}{2})^2 = 4x^2 + \frac{9x^2}{4} = \frac{16x^2 + 9x^2}{4} = \frac{25x^2}{4}$.

Извлекая квадратный корень, получаем $AB = \sqrt{\frac{25x^2}{4}} = \frac{5x}{2}$.

Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + AC + BC$. Так как $AB = AC = \frac{5x}{2}$ и $BC = 3x$, получаем:

$P_{ABC} = \frac{5x}{2} + \frac{5x}{2} + 3x = 5x + 3x = 8x$.

По условию, периметр равен 64, поэтому:

$8x = 64 \implies x = 8$.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника и его высоту:

$BC = 3x = 3 \cdot 8 = 24$.

$AB = AC = \frac{5x}{2} = \frac{5 \cdot 8}{2} = 20$.

$AM = 2x = 2 \cdot 8 = 16$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле площади треугольника $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{64}{2} = 32$.

Площадь треугольника $S$ также можно вычислить через основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 12 \cdot 16 = 192$.

Теперь найдем радиус $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{192}{32} = 6$.

Ответ: 6.