Номер 107, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

107. Докажите, что если центры описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Пусть в треугольнике $ABC$ центры описанной и вписанной окружностей совпадают в точке $P$.

По определению, центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Следовательно, если $P$ — центр описанной окружности, то расстояния от точки $P$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности:
$PA = PB = PC = R$.

По определению, центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, если $P$ — центр вписанной окружности, то лучи $AP$, $BP$ и $CP$ являются биссектрисами углов $A$, $B$ и $C$ соответственно:
$∠PAB = \frac{1}{2}∠A$, $∠PBA = \frac{1}{2}∠B$, $∠PCB = \frac{1}{2}∠C$.

Рассмотрим треугольник $APB$. Так как $PA = PB$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠PAB = ∠PBA$.

Используя тот факт, что $AP$ и $BP$ — биссектрисы, получаем:
$\frac{1}{2}∠A = \frac{1}{2}∠B$, что равносильно $∠A = ∠B$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BPC$. Так как $PB = PC$, он также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $∠PBC = ∠PCB$.

Отсюда, используя свойство биссектрис, следует:
$\frac{1}{2}∠B = \frac{1}{2}∠C$, что равносильно $∠B = ∠C$.

Таким образом, мы доказали, что все три угла треугольника равны между собой: $∠A = ∠B = ∠C$. Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним.

Ответ: Доказано, что если центры описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают, то все углы этого треугольника равны, и, следовательно, треугольник является равносторонним.