номер 110, страница 71 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

110. Используя данные рисунков 116, а)—в), найдите радиус описанной окружности треугольника.

а) Прямоугольный треугольник, катет 6, угол $30^\circ$.

б) Прямоугольный треугольник, катеты 3 и 4.

в) Равнобедренный прямоугольный треугольник, катет $4\sqrt{2}$.

Рис. 116

а) Данный треугольник является прямоугольным. Радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы $c$. Найдем гипотенузу. В треугольнике известен катет, равный 6, и противолежащий ему угол $30^\circ$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(30^\circ) = \frac{6}{c}$. Отсюда можно выразить гипотенузу: $c = \frac{6}{\sin(30^\circ)}$. Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $c = \frac{6}{1/2} = 12$. Следовательно, радиус описанной окружности равен: $R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6.

б) Этот треугольник является прямоугольным. Его катеты равны 3 и 4. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы $c$. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — катеты. Подставляем известные значения: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Теперь находим радиус описанной окружности: $R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

в) На рисунке изображен прямоугольный равнобедренный треугольник. Оба катета равны $4\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы $c$. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. Так как катеты равны, $c^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2$. Вычисляем: $c^2 = (16 \cdot 2) + (16 \cdot 2) = 32 + 32 = 64$. Отсюда $c = \sqrt{64} = 8$. Радиус описанной окружности равен: $R = \frac{c}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Ответ: 4.