Номер 117, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

117. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если вписанная окружность точкой касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, его катеты обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы в точке $K$, а катетов — в точках $M$ и $N$.

По условию задачи, точка касания $K$ делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 5 + 12 = 17$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть отрезки гипотенузы от вершин до точки касания $K$ равны 12 см и 5 см. Тогда отрезки касательных от этих же вершин до точек касания на катетах также равны 12 см и 5 см.

Пусть радиус вписанной окружности равен $r$. В прямоугольном треугольнике четырехугольник, образованный вершиной прямого угла, центром вписанной окружности и точками касания на катетах, является квадратом со стороной, равной радиусу $r$. Таким образом, оставшиеся части катетов равны $r$.

Тогда длины катетов можно выразить следующим образом:

$a = 5 + r$

$b = 12 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в нее полученные выражения для катетов и гипотенузы:

$(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$(25 + 10r + r^2) + (144 + 24r + r^2) = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Произведение корней равно $-60$, а их сумма равна $-17$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-20$.

$r_1 = 3$, $r_2 = -20$.

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень $r = 3$ см.

Теперь, зная значение радиуса, мы можем вычислить длины катетов:

Первый катет: $a = 5 + r = 5 + 3 = 8$ см.

Второй катет: $b = 12 + r = 12 + 3 = 15$ см.

Ответ: 8 см и 15 см.