Номер 115, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

115. Используя данные рисунков 118, а)—г), найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

a) 8, 15

б) 10, 6

в) 4, $30^\circ$

г) $P_{\Delta} = 70$, 30

Рис. 118

а)

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 8$ и $b = 15$. Для нахождения радиуса вписанной окружности необходимо знать длину гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$.
$c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.
Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$.
Подставим значения сторон:

$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3.

б)

Дан прямоугольный треугольник с катетом $a = 6$ и гипотенузой $c = 10$. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$.
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
Теперь, зная все стороны треугольника, можем вычислить радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a+b-c}{2}$.
$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2.

в)

Дан прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен $30^\circ$, а противолежащий этому углу катет равен 4. Обозначим этот катет как $b = 4$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза $c = 2b = 2 \cdot 4 = 8$.
Второй катет $a$ найдем по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a+b-c}{2}$.
$r = \frac{4\sqrt{3} + 4 - 8}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 4}{2} = 2(\sqrt{3} - 1)$.
Ответ: $2(\sqrt{3} - 1)$.

г)

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 30$ и периметром $P_\Delta = 70$.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$, где $a$ и $b$ — катеты.
Из условия известно, что $a + b + c = 70$. Подставив значение гипотенузы, получим:

$a + b + 30 = 70$.
Отсюда найдем сумму катетов: $a + b = 70 - 30 = 40$.
Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой $r = \frac{a+b-c}{2}$. Нам уже известны значения $(a+b)$ и $c$.
$r = \frac{40 - 30}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5.