Номер 119, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

119. a) Площадь прямоугольного треугольника равна 24 $cm^2$, радиус его вписанной окружности равен 2 см. Найдите диаметр описанной окружности треугольника.

б) Площадь прямоугольного треугольника равна 30 $cm^2$, радиус его описанной окружности равен 6,5 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

а)

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Площадь треугольника $S$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$ формулой $S = p \cdot r$. Также для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$.

По условию задачи дано, что площадь $S = 24 \text{ см}^2$ и радиус вписанной окружности $r = 2 \text{ см}$.

Используем формулу площади через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$S = p \cdot r \implies 24 = \frac{a+b+c}{2} \cdot 2$

Отсюда получаем первое уравнение: $a+b+c = 24$.

Теперь используем формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

$r = \frac{a+b-c}{2} \implies 2 = \frac{a+b-c}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение: $a+b-c = 4$.

Мы получили систему из двух уравнений: $a+b+c = 24$ и $a+b-c = 4$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(a+b+c) - (a+b-c) = 24 - 4$

$2c = 20$

$c = 10 \text{ см}$

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности является серединой гипотенузы, а её диаметр $D$ равен длине гипотенузы $c$.

Следовательно, $D = c = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

б)

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Радиус описанной окружности $R$ для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

По условию задачи радиус описанной окружности $R = 6,5 \text{ см}$. Отсюда можем найти гипотенузу:

$c = 2R = 2 \cdot 6,5 = 13 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

По условию $S = 30 \text{ см}^2$, следовательно, $\frac{1}{2}ab = 30$, откуда получаем, что $ab = 60$.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ используется формула $r = \frac{a+b-c}{2}$. Нам необходимо найти сумму катетов $a+b$.

Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2+b^2=c^2$ и алгебраическим тождеством $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

Подставим известные значения в тождество:

$(a+b)^2 = c^2 + 2ab = 13^2 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$.

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон, их сумма $a+b$ положительна, поэтому $a+b = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.