Номер 114, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

114. Используя формулу $r = \frac{a+b-c}{2}$, найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, если:

а) a = 3 см, b = 4 см;

б) a = 5 дм, b = 12 дм;

в) a = 7 см, c = 25 см;

г) a = 4 м, c = $4\sqrt{2}$ м.

а)

В данном случае нам даны два катета прямоугольного треугольника: $a = 3$ см и $b = 4$ см. Для использования формулы $r = \frac{a+b-c}{2}$ нам необходимо найти гипотенузу $c$.

Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь, когда все стороны известны, мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

б)

Даны катеты $a = 5$ дм и $b = 12$ дм. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$c = \sqrt{169} = 13$ дм.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ дм.

Ответ: $2$ дм.

в)

Даны катет $a = 7$ см и гипотенуза $c = 25$ см. Сначала найдем второй катет $b$.

Из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ выразим $b$:

$b^2 = c^2 - a^2$

$b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$b = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, зная все стороны, вычислим радиус:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: $3$ см.

г)

Даны катет $a = 4$ м и гипотенуза $c = 4\sqrt{2}$ м. Найдем второй катет $b$.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$b^2 = c^2 - a^2$

$b^2 = (4\sqrt{2})^2 - 4^2 = (16 \cdot 2) - 16 = 32 - 16 = 16$

$b = \sqrt{16} = 4$ м.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4 + 4 - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{8 - 4\sqrt{2}}{2} = 4 - 2\sqrt{2}$ м.

Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$ м.