Номер 121, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

121. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника со сторонами, равными 12 см, 16 см и 20 см.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 16$ см и $c = 20$ см.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Найдем сумму квадратов двух меньших сторон:

$a^2 + b^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.

Теперь найдем квадрат большей стороны:

$c^2 = 20^2 = 400$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным. Гипотенуза равна $c = 20$ см, а катеты равны $a = 12$ см и $b = 16$ см.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ – катеты, а $c$ – гипотенуза.

$r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Расстояние $d$ между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника находится по формуле Эйлера: $d^2 = R(R - 2r)$.

Подставим найденные значения $R$ и $r$:

$d^2 = 10 \cdot (10 - 2 \cdot 4) = 10 \cdot (10 - 8) = 10 \cdot 2 = 20$.

Отсюда находим расстояние $d$:

$d = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.