Номер 87, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

87. Около треугольника $ABC$ описана окружность. По данным на рисунках 100, а)—в) найдите расстояние от центра $O$ окружности до прямой $AC$.

а) B, A, C, M, O, 25, 24

б) A, B, C, O, 16, 10

в) A, B, C, O, 30, 17

Рис. 100

а)

Расстояние от центра окружности $O$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на прямую $AC$. Так как $AC$ является хордой окружности, перпендикуляр $OM$ делит её пополам. Из рисунка видно, что $M$ — середина $AC$ и $MC = 24$. Следовательно, $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 24 = 48$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMC$. Катеты — $OM$ и $MC=24$, гипотенуза — радиус окружности $OC=R$. По теореме Пифагора: $OC^2 = OM^2 + MC^2$, то есть $R^2 = OM^2 + 24^2$.

Перпендикуляр к хорде, проведенный из центра, лежит на прямой, содержащей высоту треугольника $ABC$, проведенную к основанию $AC$. Значит, точки $B$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой. Из рисунка видно, что центр $O$ находится между точками $B$ и $M$. Точка $B$ лежит на окружности, поэтому отрезок $OB$ является радиусом, $OB = R$. Длина отрезка $BM$ дана и равна 25. Таким образом, $BM = BO + OM$, откуда $25 = R + OM$, или $R = 25 - OM$.

Подставим выражение для $R$ в уравнение теоремы Пифагора:

$(25 - OM)^2 = OM^2 + 24^2$

$625 - 50 \cdot OM + OM^2 = OM^2 + 576$

$625 - 576 = 50 \cdot OM$

$49 = 50 \cdot OM$

$OM = \frac{49}{50} = 0,98$

Ответ: 0,98.

б)

Нам нужно найти расстояние от центра окружности $O$ до прямой $AC$. Это длина перпендикуляра $OM$, проведенного из точки $O$ к хорде $AC$. Этот перпендикуляр делит хорду пополам, то есть $M$ является серединой $AC$.

По данным на рисунке, длина хорды $AC = 16$. Следовательно, $MC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMC$. Его катеты — $OM$ и $MC$, а гипотенуза — радиус $OC$. Из рисунка известно, что радиус $OC = 10$.

По теореме Пифагора: $OC^2 = OM^2 + MC^2$.

Подставим известные значения:

$10^2 = OM^2 + 8^2$

$100 = OM^2 + 64$

$OM^2 = 100 - 64 = 36$

$OM = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6.

в)

Требуется найти расстояние от центра окружности $O$ до прямой $AC$. Обозначим это расстояние как $d$. Это длина перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $AC$. Пусть $M$ — основание этого перпендикуляра. Тогда $d = OM$.

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Длина хорды $AC$ дана и равна 30. Значит, $MC = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Радиус окружности $R$ также дан на рисунке и равен 17. Отрезок $OC$ соединяет центр окружности с точкой на окружности, следовательно, $OC = R = 17$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMC$. Катет $OM$ — искомое расстояние, катет $MC=15$, гипотенуза $OC=17$.

Применим теорему Пифагора: $OC^2 = OM^2 + MC^2$.

$17^2 = OM^2 + 15^2$

$289 = OM^2 + 225$

$OM^2 = 289 - 225 = 64$

$OM = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8.