Номер 4, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Найдите длину отрезка, обозначенного буквой х.

a) $x$, $3$, $12$

б) $x$, $1$, $\sqrt{8}$

в) $6$, $x$, $16$

а) В данном прямоугольном треугольнике отрезок $x$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В данном случае эти отрезки равны 3 и 12. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$x^2 = 3 \cdot 12$
$x^2 = 36$
$x = \sqrt{36}$
$x = 6$
Ответ: 6

б) В этом прямоугольном треугольнике нам известен катет ($\sqrt{8}$), его проекция на гипотенузу (1) и проекция другого катета ($x$). Длина всей гипотенузы равна сумме проекций катетов, то есть $1 + x$. Согласно метрическим соотношениям, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Применим это свойство для известного катета:

$(\sqrt{8})^2 = (1 + x) \cdot 1$
$8 = 1 + x$
$x = 8 - 1$
$x = 7$
Ответ: 7

в) В данном прямоугольном треугольнике известны катет (6) и гипотенуза (16). Отрезок $x$ является одним из двух отрезков, на которые высота, проведенная к гипотенузе, делит эту гипотенузу (то есть $x$ является проекцией одного из катетов). Используем свойство, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Пусть $p$ — проекция катета с длиной 6. Тогда:

$6^2 = 16 \cdot p$
$36 = 16 \cdot p$
$p = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$
Сумма проекций двух катетов равна длине гипотенузы. Из рисунка видно, что $x$ и $p$ — это два отрезка, составляющие гипотенузу. Следовательно:

$p + x = 16$
$2.25 + x = 16$
$x = 16 - 2.25$
$x = 13.75$
Ответ: 13.75