Номер 86, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$.

а) Найдите радиус описанной окружности (рис. 99, а).

б) Найдите сторону $AC$, если $K$ ее середина, $OK = 5$ (рис. 99, б).

в) Найдите радиус описанной окружности (рис. 99, в).

Puc. 99

а) Радиус описанной окружности, обозначим его $R$, — это расстояние от центра окружности $O$ до любой из вершин треугольника $A$, $B$ или $C$. Таким образом, $R = OA = OB = OC$. Из рисунка видно, что отрезок $OK$ перпендикулярен стороне $AB$. Это означает, что треугольник $OAK$ — прямоугольный, где $OA$ является гипотенузой, а $AK$ и $OK$ — катетами. По условию, $AK=3$ и $OK=4$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $OAK$:
$OA^2 = AK^2 + OK^2$
Подставим известные значения:
$R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$R = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5.

б) Требуется найти длину стороны $AC$. Из рисунка следует, что точка $M$ лежит на окружности, а $O$ — ее центр. Отрезок $OM$ является радиусом, и его длина, судя по рисунку, равна 13. Таким образом, радиус описанной окружности $R = 13$. Точки $A$ и $C$ также лежат на окружности, поэтому $OA = OC = R = 13$.
Рассмотрим треугольник $OAC$. Так как $OA=OC$, он является равнобедренным. По условию, точка $K$ — середина стороны $AC$, а $OK=5$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $OK \perp AC$, и треугольник $OAK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $OAK$:
$OA^2 = OK^2 + AK^2$
$13^2 = 5^2 + AK^2$
$169 = 25 + AK^2$
$AK^2 = 169 - 25 = 144$
$AK = \sqrt{144} = 12$
Поскольку $K$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: 24.

в) Требуется найти радиус описанной окружности $R$. Из рисунка видно, что $AB=BC$ (показано одинаковыми метками), а длина стороны $AB$ равна 8. Следовательно, $BC=8$. Точка $K$ является серединой стороны $BC$ (также показано метками), значит $BK = KC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Отрезок $OK$ перпендикулярен хорде $BC$, поэтому треугольник $OKB$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$. В этом треугольнике гипотенуза $OB$ является радиусом $R$ описанной окружности, катет $OK$ по условию равен 2, а катет $KB$ равен 4.
Применим теорему Пифагора к треугольнику $OKB$ :
$OB^2 = OK^2 + KB^2$
$R^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
$R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$.