Номер 89, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

89. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 5 см, высота, проведенная к его основанию, равна 8 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB=BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, длина высоты $h = BH = 8$ см. Около треугольника описана окружность с радиусом $R = 5$ см.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$. Нам известна высота $BH$, поэтому для нахождения площади необходимо найти длину основания $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что точка $H$ является серединой основания $AC$, то есть $AC = 2 \cdot HC$. Кроме того, центр описанной окружности $O$ всегда лежит на серединном перпендикуляре к стороне, а для равнобедренного треугольника он лежит на высоте $BH$. Таким образом, точки $B$, $O$ и $H$ лежат на одной прямой.

Расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин треугольника равно радиусу. Следовательно, $OA = OB = OC = R = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHC$ (угол $\angle OHC = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора, $OC^2 = OH^2 + HC^2$. Учитывая, что $OC = R = 5$ см, получаем $5^2 = OH^2 + HC^2$.

Теперь найдем расстояние $OH$. Поскольку точки $B$, $O$, $H$ лежат на одной прямой, а расстояние $BH = 8$ см и расстояние $OB = 5$ см (как радиус), возможны два случая расположения точки $O$ на прямой $BH$:

1. Точка $O$ лежит между точками $B$ и $H$. Это соответствует случаю остроугольного треугольника. Тогда расстояние $OH$ можно найти как разность: $OH = BH - OB = 8 - 5 = 3$ см.

2. Точка $B$ лежит между точками $O$ и $H$. Это соответствовало бы случаю, когда угол при вершине $B$ тупой. Тогда $OH = OB + BH = 5 + 8 = 13$ см. (Строго говоря, в этом случае $H$ была бы между $O$ и $B$, что дало бы $OB = OH + HB \Rightarrow 5 = OH + 8 \Rightarrow OH = -3$, что невозможно. Значит, правильная конфигурация для тупого угла при вершине $B$: $H$ находится между $O$ и $B$, что невозможно. Если тупые углы при основании, то это также невозможно. Альтернативно, $B$ между $H$ и $O$, тогда $OH = OB+BH$ неправильно, а $HO = HB+BO = 8+5=13$ см - это если $B$ между $H$ и $O$). Более формально, если мы расположим $H$ в начале координат, а $B$ в точке $(0, 8)$, то $O$ будет в точке $(0, y_O)$ и $|y_O - 8| = 5$, что дает $y_O = 3$ или $y_O = 13$. Расстояние $OH$ равно $|y_O|$, то есть $OH=3$ или $OH=13$.

Проверим оба варианта:

Случай 1: $OH = 3$ см.

Подставим это значение в уравнение теоремы Пифагора для $\triangle OHC$:

$5^2 = 3^2 + HC^2$

$25 = 9 + HC^2$

$HC^2 = 25 - 9 = 16$

$HC = \sqrt{16} = 4$ см.

Тогда длина основания $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см$^2$.

Случай 2: $OH = 13$ см.

Подставим это значение в уравнение теоремы Пифагора:

$5^2 = 13^2 + HC^2$

$25 = 169 + HC^2$

$HC^2 = 25 - 169 = -144$

Квадрат длины отрезка не может быть отрицательным числом, поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, существует только одно решение, соответствующее первому случаю.

Ответ: $32$ см$^2$.