Номер 5, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

5. Найдите площадь равнобедренной трапеции.

a) $ \text{tg } \alpha = 2,5 $

б) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} $

в) $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По данным на рисунке, основания трапеции равны $a=5$ и $b=9$.

Проведем высоту, которая в равнобедренной трапеции отсекает на большем основании отрезок $x = \frac{b-a}{2} = \frac{9-5}{2} = 2$.

В образовавшемся прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а отрезок $x$ — прилежащим катетом. Следовательно, $h = x \cdot \tan \alpha$.

Используя данное значение $\tan \alpha = 2,5$, находим высоту: $h = 2 \cdot 2,5 = 5$.

Вычисляем площадь: $S = \frac{5+9}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: 35.

б)

Основания трапеции равны $a=4$ и $b=8$. Формула площади: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Найдем отрезок $x$, отсекаемый высотой на большем основании: $x = \frac{8-4}{2} = 2$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, боковой стороной и отрезком $x$, выполняется соотношение $h = x \cdot \tan \alpha$.

Нам дан $\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$. Найдем $\tan \alpha$.

Сначала найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = \frac{9}{10}$.

Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Теперь найдем тангенс: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{10}}{\sqrt{10}/10} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3$.

Высота трапеции: $h = x \cdot \tan \alpha = 2 \cdot 3 = 6$.

Площадь трапеции: $S = \frac{4+8}{2} \cdot 6 = \frac{12}{2} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$.
Ответ: 36.

в)

Основания трапеции равны $a=7,5$ и $b=13,5$. Угол $\alpha$ на рисунке — тупой угол при меньшем основании.

Острый угол при большем основании, обозначим его $\gamma$, связан с углом $\alpha$ соотношением $\gamma = 180^\circ - \alpha$.

Отрезок $x$, отсекаемый высотой $h$ на большем основании, равен $x = \frac{13,5-7,5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

В прямоугольном треугольнике с катетами $h$ и $x$ выполняется $h = x \cdot \tan \gamma$.

Найдем $\tan \gamma$. Известно, что $\sin \alpha = \frac{4}{5}$.

Так как $\sin \gamma = \sin(180^\circ - \alpha)$, то $\sin \gamma = \sin \alpha = \frac{4}{5}$.

Найдем $\cos \gamma$ (для острого угла $\gamma$ косинус положителен):

$\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Тогда $\tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Находим высоту: $h = x \cdot \tan \gamma = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$.

Вычисляем площадь: $S = \frac{7,5+13,5}{2} \cdot 4 = \frac{21}{2} \cdot 4 = 21 \cdot 2 = 42$.
Ответ: 42.