Тест 1, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Найдите:

a) $ \sin A $;

б) $ \cos A $;

в) $ \operatorname{tg} A $;

г) $ \sin B $.

В задаче дан прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C прямой ($ \angle C = 90^\circ $). Известны длины гипотенузы AB = 13 и катета BC = 5. Для нахождения тригонометрических функций необходимо сначала найти длину второго катета AC. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $

Подставим известные значения:

$ AC^2 + 5^2 = 13^2 $

$ AC^2 + 25 = 169 $

$ AC^2 = 169 - 25 $

$ AC^2 = 144 $

$ AC = \sqrt{144} = 12 $

Теперь, зная длины всех сторон треугольника (катет AC = 12, катет BC = 5, гипотенуза AB = 13), можем найти требуемые значения.

а) sin A

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла A противолежащим катетом является BC.

$ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} $

Ответ: $ \frac{5}{13} $

б) cos A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для угла A прилежащим катетом является AC.

$ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13} $

Ответ: $ \frac{12}{13} $

в) tg A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

$ \text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12} $

Ответ: $ \frac{5}{12} $

г) sin B

Синус угла B — это отношение длины противолежащего ему катета (AC) к длине гипотенузы (AB).

$ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13} $

Ответ: $ \frac{12}{13} $