Номер 81, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

81. ABCD — прямоугольник, $AK = KB$, $AM = 2MD$, $S_{ABCD} = 240$ (рис. 85).

Найдите $S_{MED}$.

Puc. 85

Для решения задачи воспользуемся методом площадей и теоремой Менелая. Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $AD = w$ и $AB = h$. Тогда площадь прямоугольника $S_{ABCD} = w \cdot h = 240$.

По условию $AK = KB$, следовательно, точка $K$ является серединой стороны $AB$. Отсюда $AK = KB = \frac{1}{2}AB = \frac{h}{2}$.

Также по условию $AM = 2MD$. Так как точка $M$ лежит на стороне $AD$, то $AD = AM + MD = 2MD + MD = 3MD$. Отсюда следует, что $MD = \frac{1}{3}AD = \frac{w}{3}$ и $AM = \frac{2}{3}AD = \frac{2w}{3}$.

Точка $E$ является точкой пересечения отрезков $KM$ и $BD$. Это означает, что точки $K$, $E$ и $M$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольник $ABD$ и секущую $KEM$. По теореме Менелая для треугольника $ABD$ и прямой $KEM$ справедливо соотношение:

$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BE}{ED} \cdot \frac{DM}{MA} = 1$

Подставим известные нам соотношения сторон:

$\frac{AK}{KB} = 1$ (так как $K$ — середина $AB$)

$\frac{DM}{MA} = \frac{MD}{2MD} = \frac{1}{2}$

Подставляя эти значения в формулу теоремы Менелая, получаем:

$1 \cdot \frac{BE}{ED} \cdot \frac{1}{2} = 1$

Отсюда находим отношение отрезков диагонали $BD$:

$\frac{BE}{ED} = 2$

Это означает, что $BE = 2ED$. Тогда вся диагональ $BD = BE + ED = 2ED + ED = 3ED$, и, следовательно, $ED = \frac{1}{3}BD$.

Теперь найдем искомую площадь треугольника $MED$. Рассмотрим треугольники $MED$ и $MBD$. Они имеют общую вершину $M$, а их основания $ED$ и $BD$ лежат на одной прямой. Отношение площадей таких треугольников равно отношению их оснований:

$\frac{S_{MED}}{S_{MBD}} = \frac{ED}{BD} = \frac{1}{3}$

Таким образом, $S_{MED} = \frac{1}{3}S_{MBD}$.

Найдем площадь треугольника $MBD$. В качестве основания этого треугольника можно взять сторону $MD$, лежащую на прямой $AD$. Тогда высотой, проведенной из вершины $B$ к прямой $AD$, будет сторона прямоугольника $AB=h$.

$S_{MBD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{w}{3} \cdot h = \frac{w \cdot h}{6}$

Так как $S_{ABCD} = w \cdot h = 240$, то

$S_{MBD} = \frac{240}{6} = 40$

Наконец, находим площадь треугольника $MED$:

$S_{MED} = \frac{1}{3}S_{MBD} = \frac{1}{3} \cdot 40 = \frac{40}{3}$

Ответ: $S_{MED} = \frac{40}{3}$.