Номер 78, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

78. В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $AC$ взяты соответственно точки $M$ и $K$ такие, что $AM : MB = 3 : 1$, $AK : KC = 2 : 3$. Отрезки $BK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $OCK$, если площадь треугольника $ABC$ равна 70.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой Менелая, чтобы найти, в каком отношении точка $O$ делит отрезки $BK$ и $CM$, а затем используем свойство отношения площадей треугольников.

1. Нахождение отношения $CO : OM$

Рассмотрим треугольник $AMC$ и секущую $BOK$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $K$, сторону $MC$ в точке $O$ и продолжение стороны $AM$ в точке $B$. По теореме Менелая:

$\frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$

Из условия $AM : MB = 3 : 1$, мы можем заключить, что $AM = 3MB$, а вся сторона $AB = AM + MB = 3MB + MB = 4MB$. Отсюда отношение $\frac{AB}{BM} = \frac{4MB}{MB} = 4$.

Из условия $AK : KC = 2 : 3$, мы имеем отношение $\frac{CK}{KA} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$4 \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$6 \cdot \frac{MO}{OC} = 1$

$\frac{MO}{OC} = \frac{1}{6}$

Таким образом, мы получаем, что $CO : OM = 6 : 1$.

2. Нахождение отношения $BO : OK$

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$ и секущую $MOC$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $M$, сторону $BK$ в точке $O$ и продолжение стороны $AK$ в точке $C$. Применим теорему Менелая для пути по вершинам $A \rightarrow K \rightarrow B \rightarrow A$:

$\frac{AC}{CK} \cdot \frac{KO}{OB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Найдем значения отношений из условия задачи:

Из $AK : KC = 2 : 3$, мы можем заключить, что если $AK=2x$, то $KC=3x$, а вся сторона $AC = AK + KC = 2x + 3x = 5x$. Отсюда отношение $\frac{AC}{CK} = \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}$.

Из $AM : MB = 3 : 1$, мы имеем отношение $\frac{BM}{MA} = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{KO}{OB} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{5}{9} \cdot \frac{KO}{OB} = 1$

$\frac{KO}{OB} = \frac{9}{5}$

Таким образом, мы получаем, что $BO : OK = 5 : 9$.

3. Вычисление площади треугольника $OCK$

Площадь треугольника $ABC$ по условию равна $S_{ABC} = 70$.

Найдем площадь треугольника $BKC$. Треугольники $BKC$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $KC$ и $AC$.

$\frac{S_{BKC}}{S_{ABC}} = \frac{KC}{AC}$

Как мы уже выяснили, $\frac{KC}{AC} = \frac{3}{5}$.

Тогда $S_{BKC} = S_{ABC} \cdot \frac{KC}{AC} = 70 \cdot \frac{3}{5} = 14 \cdot 3 = 42$.

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Точка $O$ лежит на стороне $BK$. Треугольники $OCK$ и $BKC$ имеют общую вершину $C$, а их основания $OK$ и $BK$ лежат на одной прямой. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований.

$\frac{S_{OCK}}{S_{BKC}} = \frac{OK}{BK}$

Из отношения $BO : OK = 5 : 9$ следует, что если $BO=5y$, то $OK=9y$, а вся длина отрезка $BK = BO + OK = 5y + 9y = 14y$.

Тогда отношение оснований $\frac{OK}{BK} = \frac{9y}{14y} = \frac{9}{14}$.

Наконец, находим искомую площадь треугольника $OCK$:

$S_{OCK} = S_{BKC} \cdot \frac{OK}{BK} = 42 \cdot \frac{9}{14} = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: 27.