Номер 73, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

73. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $M$, на стороне $BC$ — точка $K$ так, что $AM : MB = 2:3$, $BK : KC = 4 : 5$. Найдите площадь треугольника $BMK$, если $S_{ABC} = 90$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Треугольники $ABC$ и $BMK$ имеют общий угол $B$. Выразим их площади через этот угол:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S_{BMK} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK \cdot \sin B$

Найдем отношение площади треугольника $BMK$ к площади треугольника $ABC$, разделив второе равенство на первое:

$\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK \cdot \sin B}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B} = \frac{MB \cdot BK}{AB \cdot BC} = \frac{MB}{AB} \cdot \frac{BK}{BC}$

Теперь найдем значения отношений сторон из условия задачи.

Известно, что $AM : MB = 2 : 3$. Это значит, что всю сторону $AB$ можно представить как сумму $2+3=5$ равных частей. Отрезок $MB$ составляет 3 из этих 5 частей. Следовательно, отношение $MB$ к $AB$ равно:

$\frac{MB}{AB} = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$

Аналогично, из соотношения $BK : KC = 4 : 5$ следует, что сторона $BC$ состоит из $4+5=9$ равных частей. Отрезок $BK$ составляет 4 из этих 9 частей. Следовательно, отношение $BK$ к $BC$ равно:

$\frac{BK}{BC} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$

Подставим найденные отношения в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{45}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{S_{BMK}}{S_{ABC}} = \frac{4}{15}$

Теперь мы можем найти площадь треугольника $BMK$, зная, что $S_{ABC} = 90$:

$S_{BMK} = S_{ABC} \cdot \frac{4}{15} = 90 \cdot \frac{4}{15} = \frac{90 \cdot 4}{15} = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24.