Номер 69, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

69. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого высота делит гипотенузу на отрезки, равные 1,2 см и 4,8 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором из вершины прямого угла на гипотенузу опущена высота. Эта высота делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному и друг другу.

Обозначим отрезки, на которые высота делит гипотенузу, как $c_a$ и $c_b$. По условию, их длины равны $c_a = 1,2$ см и $c_b = 4,8$ см.

Длина всей гипотенузы $c$ будет равна сумме длин этих отрезков:
$c = c_a + c_b = 1,2 + 4,8 = 6$ см.

Высоту $h_c$, опущенную на гипотенузу, можно найти, используя свойство высоты в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу (то есть произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу).

Формула выглядит так:
$h_c^2 = c_a \cdot c_b$

Подставим значения и вычислим высоту:
$h_c^2 = 1,2 \cdot 4,8 = 5,76$
$h_c = \sqrt{5,76} = 2,4$ см.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле, используя в качестве основания гипотенузу $c$ и в качестве высоты — высоту $h_c$, проведенную к ней.
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Подставим найденные значения длин гипотенузы и высоты:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2,4 = 3 \cdot 2,4 = 7,2$ см².

Ответ: 7,2 см².