Геометрия 3D, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

Напомним, что в основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат и все ее боковые ребра равны.

На фото изображен знак нулевого километра Беларуси, установленный в Минске на Октябрьской площади. На рисунке изображена его геометрическая модель — правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра основания равна 120 см, боковое ребро равно 100 см (рис. 74). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Puc. 74

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками.

Дано:

• Пирамида PABCD — правильная четырехугольная.
• Основание ABCD — квадрат со стороной $a = 120$ см.
• Боковое ребро $l = 100$ см (например, PA = PB = PC = PD = 100 см).

Найдем площадь одной боковой грани, например, треугольника PDC. Это равнобедренный треугольник с основанием $DC = 120$ см и боковыми сторонами $PD = PC = 100$ см.

Для нахождения площади этого треугольника нам нужна его высота, проведенная к основанию. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Проведем апофему $PK$ к стороне $DC$. В равнобедренном треугольнике PDC высота $PK$ является также медианой, поэтому точка $K$ — середина отрезка $DC$.

$KC = \frac{1}{2} \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PKC. По теореме Пифагора найдем апофему $PK$:

$PC^2 = PK^2 + KC^2$

$PK^2 = PC^2 - KC^2$

$PK^2 = 100^2 - 60^2 = 10000 - 3600 = 6400$

$PK = \sqrt{6400} = 80$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани (треугольника PDC):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot PK = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 80 = 60 \cdot 80 = 4800$ см².

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна площади одной грани, умноженной на четыре:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 4800 = 19200$ см².

Ответ: 19200 см².