номер 70, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

70. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен проекции катета $BC$ на гипотенузу $AB$. Найдите $\cos A$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым ($ \angle C = 90^\circ $). Тогда $AB$ – гипотенуза, а $AC$ и $BC$ – катеты.

Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.

Согласно условию задачи, длина катета $AC$ равна длине проекции катета $BC$ на гипотенузу $AB$. Это можно записать как:

$AC = BH$.

В прямоугольном треугольнике справедливы метрические соотношения. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ это соотношение выглядит так:

$BC^2 = AB \cdot BH$.

Заменим в этом выражении $BH$ на $AC$, согласно условию задачи:

$BC^2 = AB \cdot AC$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Подставим в уравнение Пифагора найденное выражение для $BC^2$:

$AC^2 + (AB \cdot AC) = AB^2$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.

Чтобы найти это отношение, разделим обе части уравнения $AC^2 + AB \cdot AC = AB^2$ на $AB^2$ (это можно сделать, так как длина гипотенузы не равна нулю):

$\frac{AC^2}{AB^2} + \frac{AB \cdot AC}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2}$

$\left(\frac{AC}{AB}\right)^2 + \frac{AC}{AB} = 1$.

Сделаем замену $x = \cos A = \frac{AC}{AB}$. Уравнение примет вид:

$x^2 + x = 1$

$x^2 + x - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Так как угол $A$ является острым углом в прямоугольном треугольнике, его косинус должен быть положительным числом ($0 < \cos A < 1$).

Корень $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ отрицательный, поэтому он не является решением задачи.

Корень $x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ положительный (так как $\sqrt{5} \approx 2.236$), и он является решением.

Ответ: $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.