Номер 80, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

80. В треугольнике ABC $AK: KC = 3:2$, $AM: MB = 1 : 2$, $O = BK \cap CM$ (рис. 84). Найдите отношение:

а) $\frac{KO}{OB}$;

б) $\frac{MO}{OC}$;

в) $\frac{S_{KOC}}{S_{MOB}}$.

Рис. 84

Рис. 85

Рис. 86

a)

Для нахождения отношения $ \frac{KO}{OB} $ применим теорему Менелая для треугольника $ABK$ и секущей $MOC$. Согласно теореме, $ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{KC}{CA} = 1 $. Из условия задачи имеем $ \frac{AM}{MB} = \frac{1}{2} $. Также дано, что $ AK : KC = 3 : 2 $. Пусть $AK = 3x$ и $KC = 2x$, тогда $AC = AK + KC = 3x + 2x = 5x$. Отсюда следует, что $ \frac{KC}{CA} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $. Подставив известные значения в уравнение теоремы Менелая, получаем: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{2}{5} = 1 $. Упростив, имеем $ \frac{BO}{OK} \cdot \frac{1}{5} = 1 $, откуда $ \frac{BO}{OK} = 5 $. Следовательно, искомое отношение $ \frac{KO}{OB} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $

б)

Для нахождения отношения $ \frac{MO}{OC} $ применим теорему Менелая для треугольника $AMC$ и секущей $BOK$. Теорема для этого случая записывается так: $ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $. Из условия задачи $ AM : MB = 1 : 2 $. Пусть $AM = y$ и $MB = 2y$, тогда $AB = AM + MB = y + 2y = 3y$. Отсюда $ \frac{AB}{BM} = \frac{3y}{2y} = \frac{3}{2} $. Также из условия $ AK : KC = 3 : 2 $, откуда $ \frac{CK}{KA} = \frac{2}{3} $. Подставим известные значения в уравнение: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{2}{3} = 1 $. После сокращения получаем $ 1 \cdot \frac{MO}{OC} = 1 $, откуда $ \frac{MO}{OC} = 1 $.

Ответ: $1$

в)

Площадь треугольника можно найти по формуле $ S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma $, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Рассмотрим треугольники $KOC$ и $MOB$. Углы $\angle KOC$ и $\angle MOB$ являются вертикальными, следовательно, они равны. Площадь треугольника $KOC$ равна $ S_{KOC} = \frac{1}{2} \cdot KO \cdot OC \cdot \sin(\angle KOC) $, а площадь треугольника $MOB$ равна $ S_{MOB} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OB \cdot \sin(\angle MOB) $. Найдем отношение их площадей: $ \frac{S_{KOC}}{S_{MOB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot KO \cdot OC \cdot \sin(\angle KOC)}{\frac{1}{2} \cdot MO \cdot OB \cdot \sin(\angle MOB)} = \frac{KO \cdot OC}{MO \cdot OB} $. Это выражение можно переписать в виде произведения отношений: $ \frac{S_{KOC}}{S_{MOB}} = \frac{KO}{OB} \cdot \frac{OC}{MO} $. Из предыдущих пунктов нам известны значения этих отношений: из пункта а) $ \frac{KO}{OB} = \frac{1}{5} $, а из пункта б) $ \frac{MO}{OC} = 1 $, откуда следует, что $ \frac{OC}{MO} = 1 $. Подставим эти значения в формулу для отношения площадей: $ \frac{S_{KOC}}{S_{MOB}} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $