Номер 2, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. По углу $ \beta $ и одной из сторон найдите сторону $ x $.

а) (изображение треугольника со сторонами $x$, $5$ и углом $ \beta $)

б) (изображение треугольника со сторонами $x$, $4$ и углом $ \beta $)

в) (изображение треугольника со сторонами $ \sqrt{3} $, $x$ и углом $ \beta $)

а)

В данном прямоугольном треугольнике сторона x является катетом, противолежащим углу β, а сторона длиной 5 — гипотенузой. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Следовательно, мы можем записать соотношение: $\sin \beta = \frac{x}{5}$.

Чтобы найти x, выразим его из этой формулы:

$x = 5 \sin \beta$.

Ответ: $x = 5 \sin \beta$.

б)

В этом прямоугольном треугольнике сторона x является катетом, противолежащим углу β, а катет длиной 4 — прилежащим к углу β. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Таким образом, имеем:

$\tan \beta = \frac{x}{4}$.

Выразим x из этого соотношения:

$x = 4 \tan \beta$.

Ответ: $x = 4 \tan \beta$.

в)

В заданном прямоугольном треугольнике сторона x является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла), а катет длиной $\sqrt{3}$ — прилежащим к углу β. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Исходя из этого, запишем:

$\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{x}$.

Чтобы найти x, выразим его из формулы, поменяв местами x и $\cos \beta$:

$x = \frac{\sqrt{3}}{\cos \beta}$.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{\cos \beta}$.