Номер 91, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

91. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O$. По данным на рисунках 103, а)—в) определите величину угла, обозначенного знаком вопроса.

a) $30^\circ$, $25^\circ$, $?$

б) $24^\circ$, $76^\circ$, $?$

в) $135^\circ$, $?$

Рис. 103

а) Центр вписанной в треугольник окружности, точка $O$, является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ треугольника $ABC$ соответственно.
По условию, $\angle OBA = 30^{\circ}$ и $\angle OCB = 25^{\circ}$.
Так как $BO$ — биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Так как $CO$ — биссектриса угла $\angle C$, то $\angle ACB = 2 \cdot \angle OCB = 2 \cdot 25^{\circ} = 50^{\circ}$.
Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 50^{\circ} = 70^{\circ}$.
Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$.
Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Искомый угол $\angle AOC$ найдем из этого треугольника. Угол $\angle OCA$ равен половине угла $\angle ACB$, то есть $\angle OCA = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$.
$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 25^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Ответ: $120^{\circ}$.

б) Точка $O$ — центр вписанной окружности, поэтому $AO$, $BO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.
По условию, $\angle OAC = 24^{\circ}$ и $\angle ACB = 76^{\circ}$.
Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle OAC = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$.
Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 76^{\circ} = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$.
Искомый угол — это $\angle ABO$, отмеченный знаком вопроса. Так как $BO$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то:
$\angle ABO = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ}$.
Ответ: $28^{\circ}$.

в) Точка $O$ — центр вписанной окружности, следовательно, $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$.
Обозначим $\angle OAC = \alpha$ и $\angle OCA = \gamma$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha$ и $\angle ACB = 2\gamma$.
Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. По условию $\angle AOC = 135^{\circ}$.
$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ}$
$\alpha + \gamma + 135^{\circ} = 180^{\circ}$
$\alpha + \gamma = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$.
$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 2\alpha + 2\gamma = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 2(\alpha + \gamma) = 180^{\circ}$.
Подставим найденное значение суммы $\alpha + \gamma$:
$\angle ABC + 2 \cdot 45^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
Искомый угол, обозначенный знаком вопроса, это $\angle ABC$.
Ответ: $90^{\circ}$.