Номер 58, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

58. a) Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной $6\sqrt{2}$ см, и углом при основании, равным $75^{\circ}$.

б) Площадь равнобедренного треугольника равна $16$ см$^2$, угол при основании равен $15^{\circ}$. Найдите длину боковой стороны треугольника.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b = 6\sqrt{2}$ см и углом при основании $\alpha = 75^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине (между боковыми сторонами), обозначим его $\beta$, равен:
$\beta = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. В нашем случае, две стороны — это боковые стороны $b$, а угол между ними — $\beta$.

$S = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin(\beta)$.

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot \sin(30^\circ)$.

Вычислим: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$, а значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \frac{1}{2} = \frac{72}{4} = 18$ см².

Ответ: 18 см².

б)

Пусть $S = 16$ см² — площадь равнобедренного треугольника, а $\alpha = 15^\circ$ — угол при его основании. Обозначим искомую длину боковой стороны как $b$.

Аналогично пункту а), найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(\beta)$.

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $b$:

$16 = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \sin(150^\circ)$.

Значение синуса $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$16 = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \frac{1}{2}$

$16 = \frac{b^2}{4}$

Отсюда находим $b^2$:

$b^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Поскольку длина стороны является положительной величиной, находим $b$ как квадратный корень из 64:

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.