Гимнастика ума, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

1. Найдите значение выражения $\cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 180^\circ$.

2. Найдите значение выражения $\mathrm{tg} 1^\circ \cdot \mathrm{tg} 2^\circ \cdot \mathrm{tg} 3^\circ \cdot \ldots \cdot \mathrm{tg} 88^\circ \cdot \mathrm{tg} 89^\circ$.

1.

Данное выражение представляет собой произведение косинусов углов от $10^\circ$ до $180^\circ$ с шагом в $10^\circ$:

$ \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 80^\circ \cdot \cos 90^\circ \cdot \cos 100^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 180^\circ $

В этой последовательности множителей присутствует $ \cos 90^\circ $.

Как известно, значение косинуса угла $90^\circ$ равно нулю:

$ \cos 90^\circ = 0 $

Если в произведении хотя бы один из множителей равен нулю, то всё произведение равно нулю. Поэтому, независимо от значений остальных косинусов, результат всего выражения будет равен нулю.

$ \cos 10^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 80^\circ \cdot 0 \cdot \cos 100^\circ \cdot \ldots \cdot \cos 180^\circ = 0 $

Ответ: 0

2.

Рассмотрим выражение $ \text{tg} 1^\circ \cdot \text{tg} 2^\circ \cdot \text{tg} 3^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg} 88^\circ \cdot \text{tg} 89^\circ $.

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и основным свойством тангенса и котангенса:

1. $ \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg} \, \alpha $

2. $ \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 $

Сгруппируем множители в выражении парами: первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

$ (\text{tg} 1^\circ \cdot \text{tg} 89^\circ) \cdot (\text{tg} 2^\circ \cdot \text{tg} 88^\circ) \cdot \ldots $

Рассмотрим первую пару: $ \text{tg} 1^\circ \cdot \text{tg} 89^\circ $. Используя формулу приведения, заменим $ \text{tg} 89^\circ $:

$ \text{tg} 89^\circ = \text{tg}(90^\circ - 1^\circ) = \text{ctg} 1^\circ $

Тогда произведение первой пары равно:

$ \text{tg} 1^\circ \cdot \text{ctg} 1^\circ = 1 $

Аналогично для второй пары:

$ \text{tg} 2^\circ \cdot \text{tg} 88^\circ = \text{tg} 2^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 2^\circ) = \text{tg} 2^\circ \cdot \text{ctg} 2^\circ = 1 $

Всего в выражении 89 множителей. Мы можем составить $ 88 / 2 = 44 $ такие пары, произведение каждой из которых равно 1.

В центре последовательности останется один множитель без пары. Это тангенс угла, который находится посередине между $1^\circ$ и $89^\circ$. Его значение равно $ (1+89)/2 = 45^\circ $.

Таким образом, всё выражение можно переписать как:

$ (\text{tg} 1^\circ \cdot \text{tg} 89^\circ) \cdot (\text{tg} 2^\circ \cdot \text{tg} 88^\circ) \cdot \ldots \cdot (\text{tg} 44^\circ \cdot \text{tg} 46^\circ) \cdot \text{tg} 45^\circ $

Это произведение равно:

$ 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \text{tg} 45^\circ $

Значение $ \text{tg} 45^\circ $ равно 1.

Следовательно, итоговое значение всего выражения равно 1.

Ответ: 1