Номер 47, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

47. Известно, что $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin\alpha$, если:

a) $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$;

в) $\cos\alpha = -0,2$.

Для решения задачи используется основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из него можно выразить $sin\alpha$: $sin\alpha = \pm\sqrt{1 - cos^2\alpha}$.

По условию угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует второй координатной четверти. Для углов из этой четверти синус является положительной величиной ($sin\alpha > 0$). Поэтому для всех вычислений мы будем использовать формулу с положительным знаком перед корнем: $sin\alpha = \sqrt{1 - cos^2\alpha}$.

а) Дано, что $cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4-3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Дано, что $cos\alpha = -\frac{5}{13}$. Подставим это значение в формулу:

$sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169-25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$.

в) Дано, что $cos\alpha = -0,2$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. Теперь подставим это значение в формулу:

$sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{25-1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{5}$.