Тест 2, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

По данным на рисунке найдите косинус угла B.

а) $ \frac{3}{5} $; б) $ \frac{4}{5} $; в) $ -\frac{3}{5} $; г) $ \frac{4}{3} $.

Для нахождения косинуса угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся координатным методом. Угол $B$ является углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

1. Определим координаты вершин треугольника по рисунку, принимая сторону одной клетки за единицу:
Координаты точки $A$: $(-4, 2)$.
Координаты точки $B$: $(2, 2)$.
Координаты точки $C$: $(4, -1)$.

2. Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, вычитая из координат точки конца координаты точки начала:
$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (-4 - 2; 2 - 2) = (-6; 0)$.
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 2; -1 - 2) = (2; -3)$.

3. Вычислим косинус угла $B$ по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos(B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$.
Сначала найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-6) \cdot 2 + 0 \cdot (-3) = -12$.
Затем найдем длины (модули) векторов:
$|\vec{BA}| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
$\cos(B) = \frac{-12}{6 \cdot \sqrt{13}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.

Полученное значение $-\frac{2}{\sqrt{13}}$ не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи (в координатах точек на рисунке). Проанализируем предложенные варианты методом исключения.

а) $\frac{3}{5}$ и б) $\frac{4}{5}$
Эти варианты неверны. На рисунке видно, что угол $B$ тупой (больше $90^\circ$), а косинус тупого угла всегда является отрицательным числом.

г) $\frac{4}{3}$
Этот вариант невозможен. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Значение $\frac{4}{3} \approx 1.33$ выходит за эти пределы.

в) $-\frac{3}{5}$
Это единственно возможный ответ из предложенных, так как он отрицателен и его модуль меньше 1. Вероятнее всего, это и есть правильный ответ, который предполагался авторами задачи, а в изображении допущена неточность при построении точки C.
Ответ: $-\frac{3}{5}$